2.2圆的参数方程

2.2圆的参数方程学案

学习目标

1.分别掌握圆心在（0,0）和圆心在（a,b）处的参数方程。

2.已知曲线的参数方程可以判断这个曲线的形状，已知标准方程可以写出它的参数方程。 重难点：理解、记忆圆的参数方程，以及它的应用。 【自主预习】课本内容学习P32-24页

1. 圆的标准方程是 ,它表示的是 的圆。

2.探究圆心（0,0），半径为r的圆的参数方程。

如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r,与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=?,设P点的坐标为（x,y）。

x?cos??r?由三角函数定义得sin??y 得

r??x?y?

总结：圆心在（0,0）处，半径为r的圆的参数方程为 . 说明：参数θ的几何意义是 。

3.探究圆心在（a,b）,半径为r的圆的参数方程

圆心为O1（a,b）,半径为r的圆可以看成由圆心为原点O半径为r的圆 平移而得到，平移向量v?oo1?(a,b)

??x1?rcos?设Py1?rsin? 1(x1,y1)为圆O上任一点，则有：

设P(x,y)为圆O1上与P1对应的点，则由P1P?v得(x?x1,y?y1)?(a,b)

???x?x1?ax?x?即y?y1?b ?y? ? y?

x?所以y? 为圆心在（a,b）,半径为r的圆的参数方程

4. 圆的参数方程

（1）圆x2?y2?r2参数方程 （?为参数）

（2）圆(x?x0)2?(y?y0)2?r2参数方程为： （?为参数）

????例1、已知圆方程x2?y2?2x?6y?9?0，将它化为参数方程。

练习1.把圆的方程x+y+2x-4y+1=0化为参数方程______________________ 例2.由圆的参数方程写出圆心和半径。

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?x?1?2cos??x?2?cos?? （为参数） （?为参数） (1)?(2)??y??3?2sin??y?2?sin?

x?2?cos?{)表示的圆心为 ，半径为 练习2.参数方程y??2?sin?(?为参数化为标准方程为 练习3.圆O的参数方程??x?5cos? （ 为参数,??[0,2?)）

?y?5sin?5?，则点P的坐标是____________ 3 (1)如果圆上点P所对应的参数??553 (2)如果圆上点Q所对应的坐标是(?,)，则点Q对应的参数?等于_________.22思考交流：给定参数方程??x?a?rcos?其中a,b是常数.讨论下列问题：

?y?b?rsin?（1）如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？ （2）如果α是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？ 例3.已知两条曲线的参数方程

?x?4?tcos450?x?5cos?(?为参数)和C2:?(t为参数) C1:?0y?5sin?y?3?tsin45??（1）判断这两条曲线的形状； （2）求这两条曲线的交点坐标。

练习4.一个圆的参数方程为?x?3?cos?（?为参数）

，一条直线为x+y- 1=0，判断这条

??y?2?sin?直线与圆的位置关系。

22x?y?6x?4y?12?0上动点，求 例4:已知点P（x，y）是圆

（1）z?x2?y2的最值， （2）z=x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。

练习5.如果实数x,y满足 x2?y2?4x?1?0z?y?xz?x2?y2求（1）的最小值。（2） 的最值 提高练习

1．圆(x－1)＋y＝4上的点可以表示为( )

A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 2．圆x＋y＝16的参数方程为： ． 3．圆(x－6)＋y＝4的参数方程为：______________．

4.已知圆的方程是x+y-2x+6y+6=0,则它的参数方程为 。

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2

2

2

2

22

2

??x＝cos θ，

5.曲线C：?(θ为参数)的普通方程为 ．

?y＝－1＋sin θ?

??x＝2＋cos θ，22

6．已知?(θ为参数)，则（x－5）＋（y＋4）的最大值为________．

?y＝sin θ?