第5章 杆件的应力与强度计算

以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。

(二)、剪力图和弯矩图

为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方。如图9-12所示。 OQ xOxM图9-12画剪力图和弯矩图的规定 【例9-4】 简支梁受均布荷截作用如图9-13a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。

【解】（1）求支座反力 因对称关系，可得

RA?RB?1ql (↑) 2(2)列剪力方程和弯矩方程

取距A点为x处的任意截面，将梁假想截开，考虑左段平衡，可得

(a)

(b)

(c)

图9-13 例9-4图

Q(x)?RA?qx?1ql?qx (0?x?l) (1) 2111M(x)?RAx?qx2?qlx?qx2 (0?x?l) (2)

222(3)画剪力图和弯矩图

由式(1)可见，Q(x)是x的一次函数，即剪力方程为一直线方

程，剪力图是一条斜直线。

当 x?0 时

ql 2ql x?l 时 QB?? 2QA?根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图9-13b所示。

由式(2)知，Ｍ(x)是x的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值,才可描绘出曲线的大致形状。

当 x?0 时， MA?0

ql2l

x? 时， MC?82

x?l 时， MB?0

根据以上计算结果，画出弯矩图，如图9-13c所示。

从剪力图和弯矩图中可知，受均布荷载作用的简支梁，其剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；最大剪力发生在两端支座处，

1ql ；而最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面max212上，其绝对值为Mmax?ql。

8绝对值为Q?结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。

【例9-5】 简支梁受集中力作用如图9-14a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。

【解】(1)求支座反力 由梁的整体平衡条件

Fb(↑) lFa?MA?0， RB?(↑)

lFbFa校核： ?Y?RA?RB?F???F?0

ll?MB?0， RA?计算无误。 (2)列剪力方程和梁在C处有集中力和CB段的剪力方程和弯要

分段列出。

弯矩方程 作用，故AC段矩方程不相同，

(a)

(b)

(c)

图9-14 例9-5图

AC段：距A端为x1的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为

Q(x1)?RA?Fb (0?x1?a) (1) lFbM(x1)?RAx1?x1 (0?x1?a) (2)

lCB段：距A端为x2 的任意截面外假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为

Q(x2)?RA?F?FbFa?F?? (a?x2?l) (3) llFaM(x2)?RAx2?F(x2?a)?(l?x2) (a?x2?l) (4)

l根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。 Q图：AC段剪力方程Q(x1)为常数，其剪力值为

(3)画剪力图和弯矩图

Fb，剪力图是l一条平行于x轴的直线，且在x轴上方。CB段剪力方程Q(x2)也为常数，其剪力值为?Fa，剪力图也是一条平行于x轴的直线，但在l