《数学分析》（华师大二版）课本上的习题12-15

第十二章 数项级数

§ 1 级数的收敛性

1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） a?ar?a2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：

（1）

r2?...ar?....(a?0)的收敛性。

n1111???......?....; 1?66?1111?16(5n?4)(5n?1)（2）(?)?(!213123?21)?....(2123?n1n)?.....;

（3）?1;

n(n?1)(n?2)（4）?(n?2?2n?1?n); （5）?2n?12n;

3． 证明：若级数?4． 设级数?un发散，c?0,则?cunn也发散。

与

un和?v都发散，试问?(u?v)一定发散吗？又若unnnv（n=1,2,….）

n都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列{6． 证明：若数列{（1） 级数

a}收敛于a,则级数?(a?annn?1)?a1?a

b}有limbnn?1n???，则

?(b?bn)发散；

1n（2） 当

bn?0时，级数?(bb?1n?1)=

1b

17． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：

（1）

1?(a?n?1)(a?n);

（2）

?(?1)n?12n?1;

n(n?1)（3）

?2n?1(n?1)[(n?1)?1]22;

8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：

(?1)n ；

（1）?； （2）?2n?12(?1)1（3）?； （3）?；

nn?nsin2nnn?122n29． 证明级数 10．

?uNn收敛的充要条件是：任给正数?，存在某自然数N,对一切n>N,总有

u?uN?1?....?un??。

举例说明：若级数

?un对每一个自然数p满足条件

lim(u?un??nn?1?...un?p)?0，则这级数不一定收敛。

§ 2 正项级数

1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：

（1）

??1n?a11?n222； （2）

?2?n?2nsin1?3n；

（3）； （4）

?(lnn)1nn；

（5）

?(1?cosn)； （6）?n1n；

（7）

?(a?a?2),(a?0)； （8）?n?21n?1n?1(lnn)lnn；

2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：

（1）

1?3???(2n?1)(n?1)!； （2）??n；

n!10

nn!（3）?(； （4）)?；

n2n?1nn（5）?n23． 设

2n； （6）

?(bann)（其中an?a(n??);an,a,b?0且a?b)

?u和?vn为正项级数，且存在正数n，则级数

N,对一切n>0N,有0uun?1n?vvn?1n。

证明：若级数4． 设正项级数5． 设

?vn?un也收敛；若

2?un发散，则

?vn也发散。

?a?un收敛，证明级数n?an也收敛；试问反之是否成立？

2an?0,且数列{nan}有界，证明级数?an收敛。

n6． 设正项级数收敛，证明级数

?uunn?1也收敛。

7． 证明下列极限：

（1）

nlim(n!)n??n=0； （2）

limn??(2n)!a!n?0,(a?1)。

提示：由级数收敛的必要条件推出。 8． 用积分判别法讨论下列级数的收敛性：

（1）

n （2）;?2?1?2?1;

nn?1?1（3）?; （4）?nlnnln(lnn)n?3n(n?3ln1n)(lnlnn)2mpq

9． 设

?a?为递减正项数列，证明：级数?a与?2am??nn?1n同时收敛或同时发散。

m?010． 设

a?0,bn?0,cn?bnnaan?bn?1。证明：

n?1（1） 若存在某自然数

Nn0及常数k,当n>

?N10时，有

cn ?k?0,则级数?an收敛；

n?1?（2） 若n>

N0时有

c?0，且limn??k?1?b???，则级数?an发散。

n?1?k注意：当（1）中

2）中bb?1就是比式判别法，（12n?n就是拉贝判别法

11．设级数

?ann收敛，证明级数

(?anann?0)也收敛。

12．判别下列级数的收敛性：

n!3（1）?； （2）?2nnnn2?n?2;

（3）

1; （4）?(na?1),(a?1); ?n?2lnn?（5）

?1?3???(2n?1)1n!,(x?0); ； （6）?2?4???2n2n?1(x?1)???(x?n)13．用根式判别法证明级数

?21?n?(?1)收敛，并说明比式判别法对此级数无效。

1n14．求下列极限（其中p>1）: (1)

limn??n??(1p(n?1)(n?2)(1?p?????1(2n)p);

(2)

limnp?n?11p?????n?2p2n);

15.设

a?1?a1)(1?a2)???(1?an)?与级数?an同时收敛或同时发散。 ?0,证明数列（

§ 3 一般项级数

1． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散：

（1）

nsinnxn; （2）?n!?(?1)n?1;

（3）

?(?1)np?1nn； （4）

?(?1)n2sin;

nn（5）

?(?1)(nnnln(n?1)(?1)1; ?); （6）?n?1nnn（7）

2n?100 （8）n!x;

)?(?1)?()3n?1n(