数学必修二 2.2.3 直线与平面平行的性质 作业

课时作业(十二)

1．如果直线a∥平面α，b?α，那么a与b的关系是( ) A．相交 C．平行 答案 B

解析 a与b平行或异面，但不能相交．

2．若直线a不平行于平面α，则下列结论中成立的是( ) A．α内的所有直线都与直线a异面 C．α内的直线都与a相交 答案 D

3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为( ) A．都平行

C．都相交但不一定交于同一点 答案 D

解析 若l∥平面α，则交线都平行； 若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.

4.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( ) A．2＋3 C．3＋23 答案 C

解析 因为CD∥AB，AB?平面SAB，CD?平面SAB，所以CD∥平面SAB. 又CD?平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF， 所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形， 且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝3， 所以四边形CDEF的周长为3＋23，选C.

5．下面四个命题中：①平面外的直线就是平面的平行线；②平行于同一平面的两条直线平行；③过平面外一点可作无数条直线和这个平面平行；④△ABC中，AB∥平面α，延长CA、CB，分别交α于E、F，则AB∥EF.正确的命题的序号是________． 答案 ③④

B．3＋3 D．2＋23

B．都相交且一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 B．α内不存在与a平行的直线 D．直线a与平面α有公共点 B．不相交 D．异面

6．四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCEF交AP于E，交DP于F，则四边形BCEF的形状为________． 答案 梯形

证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD. ∵AD?平面APD，BC?平面APD， ∴BC∥平面APD.

又∵平面BCFE∩平面APD＝EF， ∴BC∥EF.∴AD∥EF.

又∵E、F是△APD边上的点， ∴EF≠AD.∴EF≠BC. ∴四边形BCEF是梯形．

7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ACD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系为________． 答案 平行

8.如图，空间四边形ABCD中，P，Q，R分别是AB，AD，CD的中点，平面PQR交BC于点S.求证：四边形PQRS为平行四边形．

1

证明 如图，∵P，Q分别为AB，AD中点，∴PQ綊BD.

2∴PQ∥面BDC.

又∵四边形PQRS交面BDC于SR， ∴PQ∥SR，同理PS∥QR， ∴四边形PQRS为平行四边形．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：B1D∥平面A1C1E.

证明 连接B1D1交A1C1于M，

∵M，E分别为D1B1，D1D的中点， ∴ME∥B1D.

又∵B1D?面A1C1E，ME?面A1C1E， ∴B1D∥平面A1C1E.

10.已知E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F，求证：四边形EBFD1为平行四边形．

证明 在线段D1D上取一点M，使得D1M＝AE，所以四边形AMD1E是平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1＝AM，又AE＝C1F，所以MF∥CD，

且MF＝CD，所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF，且AM＝BF，又ED1∥AM，且ED1＝AM，所以ED1∥BF，且ED1＝BF，所以四边形EBFD1为平行四边形． ?重点班·选做题

11．如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E、F分别是SD、BC上的点，

且SE∶ED＝BF∶FC，求证：EF∥平面SAB. 证明 在SC上取一点H，使SH∶HC＝SE∶ED， 则EH∥DC，而DC∥AB，∴EH∥AB. ∵SE∶ED＝BF∶FC，

∴SH∶HC＝BF∶FC. ∴HF∥BS. ∵FH∩HE＝H， ∴平面EHF∥平面SAB. ∵EF?平面EHF，

∴EF与平面SAB没有公共点． ∴EF∥平面SAB.

12．一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点，求证：MN∥平面ACC1A1.

证明 由三视图可知该多面体是侧棱长为a，底面为等腰直角三角形的直三棱柱，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°.

连接AB1，AC1，由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M. 在△B1AC1中，

∵M，N分别是AB1，B1C1的中点， ∴MN∥AC1.

又MN?平面ACC1A1， ∴MN∥平面ACC1A1.

1．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( ) A．E、F、G、H一定是各边的中点 B．G、H一定是CD、DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC 答案 D

解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC