【冲刺必刷】专题5 数列(二)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

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数 列(二) 等差数列与等比数列

热点一 等差数列、等比数列的运算 1．通项公式

等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2．求和公式

n?a1＋an?n?n－1?a1?1－q?a1－anq

等差数列：Sn＝＝na1＋d； 等比数列：Sn＝＝

221－q1－q(q≠1)． 3．性质

若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq. 例1(1)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )

A．－12 B．－10 C．10 D．12

(2)设各项均为正数的等比数列{an}中，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝________，a5＝________.

及时归纳 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，

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n

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则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

跟踪演练1 (1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )

12A．－2 B．－1 C. D.

23(2)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.

热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明

1

an＋1

(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋an

(n≥2，n∈N*)．

1

例2 已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn

21

＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；(2)求数

2

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n

??2??

?的前列?aa??nn＋1??

n项和Tn.

及时归纳 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．

(2)a2判断时还要看各n＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，项是否为零．

1跟踪演练2 已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的

an等差中项．

?－1?n

(1)求证：数列{S}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝，

an

2n

求{bn}的前n项和Tn.

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热点三 等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．

例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；

(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn

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