2020届高考数学一轮复习 第26讲 平面向量的数量积及应用精品学案

?|a|2??|a||b|cos? 即：cos??所以??120.

o????|a|??2|a||b|???1 ???2|b||a|?点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cos??a?b|a|?|b|??，要掌握向量坐标形式的运算。

??向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于a.b?|a||b|cos?这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。

例4．（1）设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、b2、b3，满足|bi|?2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i?1,2,3，则（ ）

A．－b1+b2+b3=0 B．b1-b2+b3=0 C．b1+b2-b3=0 D．b1+b2+b3=0

（2）已知|a|?2|b|?0, 且关于x的方程x2?|a|x?a?b?0有实根, 则a与b的夹角的取值范围是（ ） A．[0,o???2??] B．[,?] C．[,] D．[,?] 63336解析：（1）D；（2）B；

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。 题型3：向量的模

rrrrrro例5．（1）已知向量a与b的夹角为120，a?3,a?b?13,则b等于（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

rrrrrrurrruruurur2a,b,ca?b,|a|?1,|b|?2|（2）设向量满足a?b?c?0,,则c|?（ ）

A．1 B．2 C．4 D．5

解析：（1）B；（2）D；

点评：掌握向量数量积的逆运算|a|?a?b|b|cosQ，以及a?|a|2。

2???????例6．已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜

=1。

????解析：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)；

??????又（xa+yb）⊥a?(xa+yb)·a＝０?3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝０ ①；

????２

又｜xa+yb｜=1?｜xa+yb｜＝１；

?（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；

整理得25x＋48xy+25y＝１即x(25x+24y)+24xy+25y＝１ ②；

２

由①②有24xy+25y＝１ ③； 将①变形代入③可得：y=±

２

２

２

5； 724?24?x?x?????35?35和?再代回①得：?。 55?y???y??7?7??点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：向量垂直、平行的判定

例7．已知向量a?(2,3)，b?(x,6)，且a//b，则x? 。 解析：∵a//b，∴x1y2?x2y1，∴2?6?3x，∴x?4。

rrrrrrrr例8．已知a??4,3?，b???1,2?，m?a??b,n?2a?b，按下列条件求实数?的

值。（1）m?n；（2）m//n；(3)m?n。

rrrrrrrrrrrr解析：m?a??b??4??,3?2??,n?2a?b??7,8?

52； 9rr1（2）m//n??4????8??3?2???7?0????；

2rr22(3)m?n??4?????3?2???72?82?5?2?4??88?0

（1）m?n??4????7??3?2???8?0????rr???2?211。 5点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。 题型5：平面向量在代数中的应用

例9．已知a?b?1，c?d?1，求证：|ac?bd|?1。

分析：a?b?1，c?d?1，可以看作向量x?(a，b)，y?(c，d)的模的平方，而ac?bd则是x、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设x?(a，b)，y?(c，d)

22222222 则x?y?ac?bd，|x|?a2?b2，|y|?c2?d2。

?|x?y|?|x|?|y|，?|ac?bd|?a?b?c?d?12222点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如

|a?b|?|a|?|b|，|a?b|?|a|?|b|；a?b?|a?b|?|a||?b|等。

例10．已知a?cos?，sin?，b?cos?，sin?，其中0??????。 （1）求证：a＋b与a－b互相垂直；

（2）若ka?b与ka?b（k?0）的长度相等，求???。 解析：（1）因为(a＋b)·(a－b)?a?a·b＋b·a－b ?a?b?|a|?|b|??2?2?2?2?????2?????2??????????????cos2??sin2??cos2??sin2?

?1?1?0 所以a＋b与a－b互相垂直。

（2）ka＋b?kcos??cos?，ksin??sin?， ka?b?kcos??cos?，ksin??sin?， 所以|ka?b|? |ka?b|???????????????????k2?2kcos??????1，

k2?2kcos??????1，

?? 因为|ka?b|?|ka?b|，

22 所以k?2kcos??????1?k?2kcos??????1，

有2kcos???????2kcos?????， 因为k?0，故cos??????0， 又因为0??????，0??????，

所以?????2。

点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：平面向量在几何图形中的应用

例11．已知两点M(?1且点P（x，y）使得MP?MN，PM?PN，NM?NP，0)，N(1，0)，成公差小于零的等差数列。

（1）求证x?y?3(x?0)；

（2）若点P的坐标为(x0，y0)，记PM与PN的夹角为?，求tan?。

22解析：（1）略解：PM?PN?x?y?1，由直接法得x?y?3(x?0)

??2222????????（2）当P不在x轴上时，

S?PMN?1??|PM||PN|sin?21???PM?PNtan? 21??|MN|||y0|2?2020??y0)?(1?x0，y0)?x?y?1?2，|MN|?2 而PN?PM?(?1?x0，tan??0，上式仍成立。 所以tan??|y0|，当P在x轴上时，y0?0， y P ?? M O N x ?

图1

1??1??1??点评：由正弦面积公式S?|a||b|sin??|a||b|cos?tan??a?btan?得到

222了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。