新版高考数学一轮复习：《等比数列及其前n项和》教学案(含解析)

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{3an}的前n项和．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)． 因为a2，a4，a8成等比数列， 所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)， 解得d＝2.

所以an＝2n(n∈N*)．

(2)由(1)知3an＝32n，设数列{3an}的前n项和为Sn， 9?1－9n?9n则Sn＝3＋3＋…＋3＝＝(9－1)．

81－9

2

4

2n

典题导入

[例3] (1)(20xx·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1

＋log3a2＋…＋log3a7)的值为( )

1

A. 2C．1

B.3 2

3 2

等比数列的性质 D．－(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于( ) A．1∶2 C．3∶4

B．2∶3 D．1∶3

π3

[自主解答] (1)因为a3a4a5＝3π＝a4，所以a4＝3. 3log3a1＋log3a2＋…＋log3a7 ＝log3(a1a2…a7)＝log3a74 π7π＝7log33＝，

33

故sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝

3. 2

(2)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 1S93将S6＝S3代入得＝. 2S34[答案] (1)B (2)C

由题悟法

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之

处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．

以题试法

3．(1)(20xx·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )

A．7 B．5 C．－5

D．－7

1

(2)(20xx·成都模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝

4( )

A．16(1－4n)

－

B．16(1－2n)

－

32－

C.(1－4n) 332－D.(1－2n) 3

解析：(1)选D 法一：

36

??a4＋a7＝a1q＋a1q＝2，

由题意得? 4529

?a5a6＝a1q×a1q＝a1q＝－8，?3???q3＝－2，?q＝－2，

解得?或?

?a1＝1??

1

?a1＝－8，

故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

????a4＋a7＝2，?a4＝－2，?a4＝4，法二：由?解得?或?

?a5a6＝a4a7＝－8，????a7＝4?a7＝－2.

3???q3＝－2，?q＝－2，

则?或??a1＝1??

1

?a1＝－8，

故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

1?2n－511

(2)选C ∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝，anan＋1＝??2?. 42

1

1－n?8??4?32－

＝(1－4n)． 131－4

故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝

1．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为( ) 1

A．－ B．1

21

C．－或1

2

1D. 4

解析：选C 当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3. a1?1－q3?

当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，

1－q11

解得q＝－，综上q＝－或q＝1.

22

S4

2．(20xx·东城模拟)设数列{an}满足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的

a2

值为( )

15

A. 2C．4

15B. 4D．2

a1?1－24?1－2S415

解析：选A 由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝.

a22a1×23．(20xx·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10

＝( )

A．4 C．6

B．5 D．7

解析：选B ∵a3·a11＝16，∴a27＝16. 又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4. 又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.

4．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a2n＋1＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…

5．(20xx·太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )

A．80 C．26

B．30 D．16

解析：选B 设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知： 2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，

同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.

1m

6．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝

2n( )

3

A. 22C. 3

32B.或 23

D．以上都不对

解析：选B 设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a

229m3m2

n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝. 2n2n3

2

7．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a7＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且

b7＝a7，则b6b8＝________.

2解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a7＝2(a3＋a11)＝4a7，

∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. 答案：16

8．(20xx·江西高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.

解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得a1?1－q5?1－?－2?5

q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.

31－q

答案：11

9．(20xx·西城期末)已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；111

2＋2＋…＋2＝________. a1a2an

解析：∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，故an＝1?n1?1?n1?1?11－

?2?是首项为，公比为的等比数列， a12n1＝2n，∴＝?，，即数列2＝an?2?an?4?44?an?

11?

1－n?11114?4?1?∴2＋2＋…＋2＝＝?1－4n??. a1a2an13

1－411

1－n? 答案：2 ?3?4?10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.