新版高考数学一轮复习：《等比数列及其前n项和》教学案(含解析)

1 等比数列及其前n项和

[知识能否忆起]

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式an＋1为＝q(n∈N*，q为非零常数)． an

(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. －

na，q＝1，??1(2)前n项和公式：Sn＝?a1?1－qn?a1－anq

＝，q≠1.?1－q?1－q

3．等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2r. 特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….

(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；

数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)； an＝amqn

－m

.

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( ) A．4 C．16

B．8 D．32

解析：选C a2·a6＝a24＝16.

2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )

?3?n A．4·?2??3?n－1 C．4·?2?

?2?n B．4·?3?

?2?n－1 D．4·?3?解析：选C (a＋1)2＝(a－1)(a＋4)?a＝5， 3?3?n－1. a1＝4，q＝，故an＝4·?2?2

3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( ) A．64 C．128

B．81 D．243

a2＋a3

解析：选A q＝＝2，

a1＋a2

故a1＋a1q＝3?a1＝1，a7＝1×271＝64.

－

1

4．(20xx·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2

2＋…＋an＝________.

1

?1－2n?211－

解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n1－. 221－21－

答案：2 2n1－ 2

5．(20xx·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.

解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征

(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数． (2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 2．等比数列的前n项和Sn

(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

典题导入

[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

[自主解答] (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴

an＋1－11

＝. an－12

等比数列的判定与证明 ∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1， 11∴a1＝，c1＝－.

22

11

又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．

221?1?n－1

?1?n， －?·(2)由(1)可知cn＝?＝－?2??2??2?1?n

∴an＝cn＋1＝1－??2?.

在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列． 1?n证明：∵由(2)知an＝1－??2?， ∴当n≥2时，bn＝an－an－1 1?n??1?n－1?＝1－??2?－?1－?2?? 1?n－1?1?n?1?n＝??2?－?2?＝?2?.

1?n1

又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝??2?. 2∵

bn＋11

＝，∴数列{bn}是等比数列． bn2

由题悟法

等比数列的判定方法

an＋1an(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，

anan－1

则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

以题试法

1． (20xx·沈阳模拟)已知函数f(x)＝logax，且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan＋

1－logaan＝2，则数列{an}(

)

A．一定是等比数列 B．一定是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列

an＋1an＋12

解析：选A 由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝a.又a>0且a≠1，

anan

所以数列{an}为等比数列．

典题导入

[例2] (20xx·全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.

[自主解答] 设{an}的公比为q，

?a1q＝6，?a1＝3，?a1＝2，???

??由题设得解得或? 2????6a1＋a1q＝30.?q＝2?q＝3.

等比数列的基本运算

当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n1，Sn＝3×(2n－1)；

－

当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n1，Sn＝3n－1.

－

由题悟法

1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

以题试法

2．(20xx·山西适应性训练)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．