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1??1??? 例3、已知正数x,y满足x+y=1,求函数f?x,y???x???的最小y???x??y??值。
分析:题中的两个式子关于x,y是有轮换对称关系，x,y的地位是
1x=y=完全平等的，即x和y所起的作用是相同的，因此猜测有可能在x=y
2?11?25时，f?x,y?取得最小值，又x+y=1，所以此对f?,??，如此证明
?22?425f?x,y??，问题即可解决。
41解：?1?x?y?2xy ??xy
41?1??1?1??1??y???4xy?x???y?? ?f?x,y??4??x??? ????4?x??y?x??y?? ?4x2?1y2?1?4x2y2?x2?y2?1 ?4x2y2??x?y?2?2xy?1?4?1?xy?2?1
??1?2?25 ?4??1???1??
????4??4??????????1?xy,其中等号仅在x=y时出现，此时 41125x=y=。所以当x=y=时，f?x,y?具有最小值。
2241111 例4、 已知 ???
abca?b?c上述推论过程中，两次用到 求证：
1a1997?1b1997?1c1997?1a1997?b1997?c1997?1 1997?a?b?c?分析：从条件和结论看它们很整齐，而且a,b,c对称轮换，由此受整齐、对称的美学启发，猜想，由条件可得a??b,b??c,c??a，把这一猜想代入结论验证显然成立。下证之：
1111???两边乘以abc?a?b?c?得 abca?b?c ?a?b?c??ab?bc?ca??abc
证明：由
??a?b?c??ab?ac??ca?a?c??0 ??c?a??a?b??b?c??0
于是得c?a?0或a?b?0或b?c?0
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即：a??c或b??a或c??a
诚然,对称性赋予了数学大量的美感,但打破对称性常常使某些问题的证明变得非常简洁。
（四）突破解题常规,揭示奇异美
我们知道,数学题都具有一般的规律和一般的解题模式,但每个数学题又都具有各自的特珠性质,而这些特殊的性质就构成了数学的奇异美。因此,在解题教学中,要抓住题目的独特之处,不构常规,独辟蹊径,使新颖简约的数学美恰如点点甘霖润物无声地沁入学生的心扉!
例1、少先队员到野外去游玩,带了饭碗和莱碗共68只。开饭时规定1人1只饭碗,3人1只菜碗,所有人都按这个规定提取饭碗和菜碗,最后饭、菜碗正好全部被取完。参加这次野外游玩的少先队员有多少人?
分析:按常规方法是用分数问题去解答,但不如用分组法进行思考:把“1只饭碗”与3只菜碗”为一组,68只碗可分成几组。思路豁然开朗:68?(3+1)=17(组),17?3=51(人)此题得解。 例2、黄金分割
C
D
A
0.618
E 0.382
B E点就是AB的黄金分割点
而我们众所周知的“黄金分割比”是奇异美的一个典型。黄金比例就?1?5是两条线段a:b?0.618:1，0。618是w = 的三位近似值，w 是方
2程1-w=w2的正解，黄金分割中的黄金比w≈0。618。
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例3、作出下列曲面的图形
（1）z?x2?y2
（2）z?x2?y2，
（3）z?sin?x2?y2
??
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图形的完美展现不仅能体现数学的奇异美，更能加深对公式的记忆和运用。
五、 数学美学思想在教学中的培养
在数学教学过程中，应当利用一些易于引起美感的课堂教学结构与形式，并且尽量选用教学中视觉信号与听觉信号的优美形式，例如精致的图形，幽默的语言，有趣的算式，生动的数学历史故事等，使接受教学的信息思维活动寓于愉悦之中，然而，并不是所有的学生都能感受到数学美的存在，这就需要教师在教学中，有意识地培养学生的数学美情趣，激发他们的数学审美欲望。数学之美充满了整个世界,它结构的完整、图形的对称、布局的合理、形式的简洁,无不体现出数学中美的因素,而作为人类文明和智慧的结晶,数学本身又蕴含着探求未知世界,追求科学真理的功能。因此,数学美为人的创造提供了动力和操作方式的物质和精神基础。
六、结束语
数学美学思想是数学教材中所固有的，在教材和教学中占有重要的地位和作用。本文主要对美学思想中的简洁美、和谐美、对称美、奇异美在解题中的应用。数学美蕴涵在其中，这就需要我们去有意识、有目的地挖掘、整理来发现数学美和创造数学美，这是现代教育对数学教育提出的新的课题，我们应充分利用现有条件，加强学习，积极进行数学美的教学改革试验，努力培养学生的综合素质。只有用心去体会，用心去学习，总有一天会感觉到它的美，一旦达到了这种境界，对数学的恐惧也就变成对数学的钟爱了。我相信,进行数学的美学思想运用到教学,会使将来的教学课堂更加生动,更开放,教学模式更加多样化;培养出的学生素质和创新能力会更高、更全面、更能适应时代的新发展;学校教育也会进入新的阶段,提高到新的水平。
考文献
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