第八章 第三节 空间向量在立体几何中的应用

第三节 空间向量在立体几何中的应用

一、填空题

?????1????2????1.若等边?ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?CB?CA，则

63????????MA?MB?_________

2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。

【解析】设M(0,y,0)由12?y2?4?1?(?3?y)2?1可得y??1故M(0,?1,0) 【答案】(0,-1，0)

二、解答题

3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

1AD 2(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD?平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，

，点A为坐标原点。设AB?1依题意得B?1 ，0，0?，C?1，1，0?， E?0， F?0， D?0，2，0?，1，1?，0，1?，?11?M?，1，?. ?22?（I）解： DE??0， BF???1，0，1?，?1，1?，于是cosBF，DE?BF?DEBFDE?0?0?11?.

2?220所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.

（II）证明：由AM??， CE???1 AD??0，1，?，，0，1?，2，0?，可得CE?AM?0，

?1?21?2?CE?AD?0.因此，CE?AM，CE?AD.又AM?AD?A，故CE?平面AMD.

而CE?平面CDE，所以平面AMD?平面CDE.

??u?CE?0，（III）解：设平面 CDE的法向量为u?(x，y，z)，则???u?DE?0.??x?z?0，于是?令x?1，可得u?(1，1，1）.

??y?z?0.又由题设，平面ACD的一个法向量为v?(0，0，1).

所以，cosu，v?u?v0?0?13??. uv33?14．（本题满分15分）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在?ABO内存在一点M，使FM?平面BOE，并求点M到OA，OB的

距离．

证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，

z轴，建立空间直角坐标系O?xyz，

则O?0,0,0?,A(0,?8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,?4,3),F?4,0,3?，由题意得，

?????????G?0,4,0?,因OB?(8,0,0),OE?(0,?4,3)，因此平面BOE的法向量为n?(0,3,4)，

?????????FG?(?4,4,?3得n?FG?0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG//平面BOE

6.（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(-1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 可得cos(MN,DA)=MN?DA||MN||DA|??63·

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

MN,DA?63cos· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB?平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 7.（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?平面ABCD，

NB?平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES?平面AMN？若存在，求线段

AS的长；若不存在，请说明理由

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D?xyz

依题意，得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。

?????????1?NE?(?,0,?1),AM?(?1,0,1)

2??????????????????NE?AM10????????， ?cos?NE,AM??????10|NE|?|AM|12

所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为

10.A 10（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES?平面AMN.

?????AN?(0,1,1),

????????可设AS??AN?(0,?,?),

又EA?(,?1,0),?ES?EA?AS?(,??1,?).

????12????????????12??????????1??ES?AM?0,?????0,由ES?平面AMN，得????即?2 ???????ES?AN?0,??(??1)???0.?????111???2故??，此时AS?(0,,),|AS|?.

2222经检验，当AS?2时，ES?平面AMN. 22. 2故线段AN上存在点S，使得ES?平面AMN，此时AS?8.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分别为AAB1C的中点，DE?1、平面BCC1

（I）证明：AB?AC

（II）设二面角A?BD?C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。 分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥S?ABCD中，AD?BC且AD?CD；平面CSD?平面ABCD，CS?DS,CS?2AD?2；E为BS的中点，

CE?2,AS?3．求：

（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；

（Ⅱ）二面角E?CD?A的大小．

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间

坐标系，设A(xA,yA,zA)，因平面COD?平面ABCD,AD?CD,故AD?平面COD