2011五一集训七入学测试卷答案

竞赛一试试卷

命题人：马瑞

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．

1．函数

f?x??x?x?1?22x?10x?1842的最小值是 4 ．

2．如图所示，将边长为n的等边三角形分成边长为1 的小等边三角形，f(n)表示从顶部小三角形到底部中央三角形的路径数目，其中路径不能从下一层指向上一层且不经过同一三角形两次，图示为n=5时的一条路径。那么f(2011)= 2010！ .

x?2y23．过曲线

AB??a?1，(a?1)的右焦点作直线L交双曲线于A，B两点，若实数?使得

的直线L恰有3条，则?= 2a . 1014050?4．和式

k?11k的整数部分为 2012 .

5．设正四面体的四个顶点是A、B、C、D，各棱长均为一米，有一只小虫沿棱按照如下规则前进：在每一个顶点均有三分之一的概率选择通过某条棱，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬行5米后停在A点的概率为 20/81 .

6．已知集合A ?{1,2,3,?,2n,2n?1}的子集B满足：对任意的x,y?B,x?y?B, 则集合B中元素个数的最大值为___n+1___.

an?1?3an?7．已知数列{an}，an?0，

8an?1，a20?a22?1024,则a21?____25123__.

8．方程x?2xsin

2?x2?1?0的实根为 1,-1 。

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

9．（本小题满分16分）已知A、B分别为曲线C:

xa22?y2?1（a>0）与x轴的左右两个

交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于B的点，连接AP交曲线C于M，.

1

（1）若曲线C为圆，点M为圆弧AB的三等分点，试求点P的坐标；

（2）设点N是以BP为直径的圆与线段BM的交点。若O、N、P三点共线，求a的值.

?

10．（本小题满分20分）已知数列{an}中，a1?4,a2?10,其前n项和Sn满足

Sn?4Sn?1?3Sn?2?2(n?3)。

1anan?1令bn?，试求一个函数f(x)，使得对于任意正整数n,有

112112Tn?b1?f(1)?b2f(2)???bnf(n)?,且对于任意的m?(0,),均存在s?N，使

*得n?s时，Tn?m.

11．（本小题满分20分）设非负实数a，b，c，满足a+b+c=1；证明

abc?1?bca?1?cab?1?14，并指出等号什么时候成立。

?60或120.

00?9.解：（1）当曲线C为圆时，有a=1,由M为AB的三等分点，知?BOM当?BOM?600时，在?PAB中， ?PAB?30，

0

0AB=2,PB=ABtan30=

233?P（1，?233y M A O l P B ）.

x 当?BOM?1200?23）. 时，同理求得P（1，（2）由图形的对称性，不妨设P点在x轴上方。由O、N、P三点共线且N点在以PB为直径的圆上，所以PN?BM.易知直线AP斜率存在，设AP斜率为k.(k>0), 则AP方程为

y?k(x?a)

y M N A O l P 2

B x

设点M(xM, yM),则x3M?(?a)?ak42?a2221?ak2ak1?ak2，

?

xM?a?ak1?ak322222?yM?2，

M(a?ak1?ak2，

2ak1?ak22），?B(a,0) ， ?kBM?yxMM?a??1ak2 ?kPN?ak.

2 P（a,2ak）.?直线PN方程为y?2ak?ak(x?a),

O、N、P三点共线?O在直线PN上，

10.解：（1）由题意知Sn2

?Sn?1?3Sn?1?3Sn?2?2(n?3)，即an?3an?1?2(n?3)，

而a2?3a1?2，?an?3an?1?2(n?2)

?an?1?3(an?1?1) ?{an?1}是等比数列，an?1?3， ?数列{an}的通项公式an?3?1.

(2) bn?12?3?13(3[(13?11anan?1?1(3?1)(3nn?1nn?1)?12?3n(13n?1?13n?1?1), 则

12?3nTn?1(1n?113?1?11?13?12)?f(1)+

12?32(13?1n?12?13?13)?f(2)+??(3n?1?)?f(n). 令?f(n)?2?3?1，则

13nT13?1?113(2n3?1?3)+(11213?12?13?13)+??(?1?13n?1?1)]

=

13n?1）<

1.

?13n?1?Tn?m,则有

化简得3n?13?1?1）?m，

4?1)?1.

?41?12m?1?n?log3(1?12m 3

当log3(当log3(41?12m41?12m4?1)?1<1，即0?m??1)?1?1，即

120120时，取s?1即可。

112?m?(3时，则记log3(441?12m?1)?1的整数部

分为[log3(1?12m?1)?1], 取s?[log1?12m?1)?1]+1即可。

*综上可知，对于任意的m?(0,f(x)?2?3x?1112)，均存在s?N，使得n?s时，Tn?m，且

为满足要求的函数.

1411. 解：若a,b,c中有0，不妨设a=0，即已知非负实数b,c;有b+c=1,证明bc?下设a,b,c均大于0，又因为a+b+c=1,所以a,b,c中必有一数小于边为W则有W?abc?1?bca?1?cab?1?abc(1a?1b?1c?1a?149?是平凡的。

，设c?1b?1?491，记不等式左

)

c?1又由Cauchy不等式得到

1c?1?1a?12?1b?1?214[(a?1)?(b?1)?(c?1)][14(1?c)

21c?1?1a?1?1b?1]?49

同时(1-c)所以

W?141a??(a?b)?4ab所以ab??abc(1b?1c?941a?1abc??14141b?1?1c?1)?14?ab?bc?ca??ab(1??149c42

)?c(1?c)?9c42(1?c)(1?116c(3c?1))?c(1?c)?14???01等号成立当且仅当a?b?c? 时。

3综上所述，原不等式成立，等号成立有两种情况（1）其中一个为0，另外两个均为三个变量均为

1312；（2）

时。

4