苏教版高中数学选修4-4课时作业【5】及答案

1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？

【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．

2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．

【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x＋y＝1和y－x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，

π

)． 2

π

3．(2018·安徽高考改编)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离．

6【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x＋y＝4y，即x＋(y－2)＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝

π3

转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即3x－3y＝0. 63

2

2

2

2

|0－3×2|

∴圆心(0,2)到直线3x－3y＝0的距离为＝3.

3＋9

4．已知A是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？ 【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程： x＋y＝3x，

2

2

?3?229即?x－?＋y＝. 4?2?

ρcos θ＝1即x＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.

图4－2－3

5．如图4－2－3，点A在直线x＝5上移动，等腰三角形OPA的顶角∠OPA＝120°(O、P、A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程．

【解】 取O为极点，x轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设P、A的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.

代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P的轨迹方程．

?π?6．在极坐标系中，已知圆C的圆心C?3，?，半径r＝3.

6??

(1)写出圆C的极坐标方程；

(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ∶QP＝3∶2，求动点P的轨迹方程． π??【解】 (1)圆C的极坐标方程为ρ＝6cos?θ－?. 6??

?3?(2)设P的坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且OQ∶QP＝3∶2，所以点Q的坐标为?ρ，θ?，因

?5?

π?π?π?3???为点Q在圆C上运动，所以ρ＝6cos?θ－?，即ρ＝10cos?θ－?，故点P的轨迹方程为ρ＝10cos?θ－?.

6?6?6?5???

7．(2018·常州质检)已知圆M的极坐标方程为ρ－42ρcos(θ－【解】 原方程化为ρ－42ρ(

2

2

2

π

)＋6＝0，求ρ的最大值． 4

22

cos θ＋sin θ)＋6＝0. 22

即ρ－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x＋y－4x－4y＋6＝0， 圆心M(2,2)，半径为2， ∴ρ

max

2

2

＝OM＋2＝22＋2＝32.

教师备选

ππ3

8．(2018·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，)，圆心为直线ρsin(θ－)＝－与极432轴的交点，求圆C的极坐标方程．

π3

【解】 在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1，

32所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C经过点P(2，所以圆C的半径PC＝

π

)， 4

2

2

＋1－2×1×2cos

2

π

＝1， 4

于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.