56泰州中学2012-2013学年高三（上）期中数学试卷

=（14分） 点评： 本题考查三角形的面积公式余弦定理，三角函数的基本关系式的应用，考查公式的灵活运用、计算能力． 17．（14分）设函数

（1）证明：f（x）是奇函数； （2）求f（x）的单调区间； （3）写出函数 考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据已知中函数的解析式及定义域，我们只要根据对数的运算性质求出f（﹣x）的解析式，与f（x）比较后可得f（x）是奇函数； （2）根据复合函数单调性的求出，我们分别确定u=同增异减的原则，可以分析出f（x）的单调区间； （3）根据函数f（x）与函数g（x）解析式的关系，易得函数=的图象是由f（x）图象向左平移一个单位和y=log2u，进而根据图象的一个对称中心．

．

得到的，结合（1）中结论可得函数g（x）图象的对称中心． 解答： 解：（1）∵函数 且=﹣f（x） 即f（x）是奇函数；（4分） （2））∵函数∵在∴上u=是函数= 为增函数，y=log2u也为增函数 的单调递增区间 ==又∵奇函数在对称区间上单调性相同 ∴也是函数的单调递增区间…（6分） （3）由（1）中f（x）是奇函数 故f（x）图象的对称中心为原点（0，0） ∵函数个单位得到的

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=的图象是由f（x）图象向左平移一

故函数图象的对称中心为（﹣1，0）…（4分） 点评： 本题是函数奇偶性的证明，函数单调区间的求法，及函数图象平移的综合应用，其中（1）（2）的关键是熟练掌握判定函数奇偶性及单调性的方法，（3）的关键是分析出两个函数图象之间的位置关系． 18．（16分）（2010?徐州一模）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价﹣每辆车的投入成本）×年销售量．

（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加

的比例x应在什么范围内？ （Ⅱ）年销售量关于x的函数为

，则当x为何值时，本年度的年

利润最大？最大利润为多少？ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题． 分析： （Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价﹣每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围． （Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）； 出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x）， 因此本年度的利润为 y=[13×（1+0.7x）﹣10×（1+x）]×5000×（1+0.4x） =（3﹣0.9x）×5000×（1+0.4x） 2=﹣1800x+1500x+15000（0＜x＜1）， 由﹣1800x+1500x+15000＞15000得2 23（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3﹣0.9x）×3240×（﹣x+2x+）=3240×（0.9x﹣4.8x+4.5x+5） 2则f′（x）=3240×（2.7x﹣9.6x+4.5）=972（9x﹣5）（x﹣3）， 由当， 是增函数；当2 10

是减函数． ∴当时，万元， 因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， 所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 点评： 此题考查学生用数学解决实际问题的能力，以及运用导数求闭区间上的最值的解题思想． 19．（16分）已知函数f（x）=alnx+x（a为实常数）．

（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； （2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 压轴题；解题方法． 分析： （1）当a=﹣2时故函数 在（1，+∞）上是增函数． 222

（2），当x∈[1，e]，2x+a∈[a+2，a+2e]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数． 若﹣2e＜a＜﹣2，当（x）是减函数； 当22时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数． 2所以此时有最值．若a≤﹣2e，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e． （3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1． 解答： 解：（1）当a=﹣2时，（x）f=x﹣2lnx，当x∈（1，+∞），222， （2），当x∈[1，e]，2x+a∈[a+2，a+2e]． 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1． 若﹣2e＜a＜﹣2，当当2时，f'（x）=0； 时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数； 11

当故[f（x）]min=2时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数． =． 2若a≤﹣2e，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e，x=e时，f'（x）=0）， 2故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e． 2综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e＜a＜﹣2时，f（x） 的最小值为为a+e， 相应的x值为e． （3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x﹣2x． ∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0， 因而（x∈[1，e]） 22，相应的x值为；当a≤﹣2e时，f（x）的最小值2令（x∈[1，e]），又， 当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0， 从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数， 故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）． 点评： 本题主要考查利用导数研究函数的性质及研究单调性与函数的最值，还考查求参数的范围，解决此类问题的关键是分离参数后转化为恒成立问题，即求新函数的最值问题，是近年高考考查的热点． 20．（16分）设数列{an}、{bn}满足a1=4，a2=，an+1=（1）证明：an＞2，0＜bn＜2（n∈N）； （2）设cn=log3

，求数列{cn}的通项公式；

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，bn=

．

（3）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，数列{anbn}的前n项和为{Pn}，求证：Sn+Tn＜Pn+．（n≥2）

考点： 数列与不等式的综合；对数的运算性质；数列递推式． 专题： 综合题． 分析： （1），bn+1=，两式相乘得anbn=an+1bn+1，由此能够证明an＞2，0＜bn＜2（n∈N）．

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