2020年高考数学理科一轮复习讲义：第4章 平面向量 第3讲 Word版含解析

2π

3．(2018·青岛模拟)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为3，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.

答案

7

解析 因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b， 2π所以c2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋32＋2×2×3×cos3 ＝4＋9－6＝7. 所以|c|＝7.

题型 三 向量数量积的综合应用

角度1 向量在平面几何中的应用

→→→→→→→→

1．已知AB，AC是非零向量，且满足(AB－2AC)⊥AB，(AC－2AB)⊥AC，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案 C

→→→→→→→→→→→

解析 ∵(AB－2AC)⊥AB?(AB－2AC)·AB＝0，即AB·AB－2AC·AB＝0，(AC→→→→→→→→→→→→→－2AB)⊥AC?(AC－2AB)·AC＝0，即AC·AC－2AB·AC＝0，∴AB·AB＝AC·AC＝→→→→→→

AB·AC1

2AB·AC，即|AB|＝|AC|，则cosA＝→→＝2，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三

|AB||AC|

角形．

角度2 向量在解析几何中的应用

→→→→→→→

2．已知AB·BC＝0，|AB|＝1，|BC|＝2，AD·DC＝0，则|BD|的最大值为________． 答案

5

→→→→解析 由AB·BC＝0可知，AB⊥BC.

故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，

9

则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设D(x，y)， →→

则AD＝(x－1，y)，DC＝(－x,2－y)． →→由AD·DC＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0， 5?1?

整理得?x－2?2＋(y－1)2＝4.

??

5?1?

所以点D在以E?2，1?为圆心，半径r＝2的圆上．

??→

因为|BD|表示B，D两点间的距离， →而|EB|＝

5?1?2

?2?＋12＝.

2??

→→

55

所以|BD|的最大值为|EB|＋r＝2＋2＝5. 角度3 向量与三角函数的综合应用

3．(2018·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.

(1)求角C的大小；

→→→(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长． 解 (1)由已知得m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)， 因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， 所以m·n＝sinC.又m·n＝sin2C， 1所以sin2C＝sinC，所以cosC＝2. π

又0

→→→→→因为CA·(AB－AC)＝CA·CB＝18， 所以abcosC＝18，所以ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab， 所以c2＝4c2－3×36， 所以c2＝36，所以c＝6.

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1．向量在平面几何中的应用

用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．如举例说明1.

2．向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．如举例说明2.

(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．

3．向量与三角函数的综合应用

解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利

用三角函数的知识进行求解．如举例说明3.

→→1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是( )

A．圆 C．双曲线 答案 D

→→解析 由已知得PA·PB＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)·(3－x)＋(－y)·(－y)＝x2－x－6＋y2＝x2，所以y2＝x＋6，故点P的轨迹是抛物线．

→→→→→2．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( )

A．正三角形 C．等腰三角形 答案 C

→→→→→→→→→→→解析 ∵(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即(OB－OC)·(OB－OA＋OC－OA)

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B．椭圆 D．抛物线

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

→→→→→→→→→→

＝0，∴CB·(AB＋AC)＝0，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|2－|AC|2＝0，|AB|→

＝|AC|，∴三角形ABC为等腰三角形．

3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．

解 (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin2x π??

＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos?2x＋3?，

??π

由2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)， ππ

解得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)，

ππ??

∴f(x)的单调递减区间为?kπ－6，kπ＋3?(k∈Z)．

??π??

(2)∵f(A)＝1＋2cos?2A＋3?＝－1，

??π??

∴cos?2A＋3?＝－1.

??ππ7π∵0

∴2A＋3＝π，即A＝3. ∵a＝7， 由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线， ∴2sinB＝3sinC.由正弦定理得2b＝3c，② 由①②，可得b＝3，c＝2.

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