逻辑符号关系

138 第7章 门电路与逻辑代数

2．逻辑函数的表示方法

逻辑函数有真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图和卡诺图5种表示形式，只要知道其中一种表示形式，就可转换为其他几种表示形式。

（1）真值表：真值表是由变量所有可能的取值组合及其对应的函数值构成的表格。真值表的列写方法是：将n个变量的2n种不同的取值按二进制递增规律排列起来，同时在相应位置上填入函数的值即可。

（2）逻辑表达式：逻辑表达式是由逻辑变量和与、或、非3种运算符联接起来构成的式子。根据真值表写逻辑表达式的方法是：取F?1（或F?0）的输入变量组合到逻辑表达式。对于每一种取值组合而言，输入变量之间是与逻辑关系。对应于F?1，如果输入变量的值为1，则取其原变量；如果输入变量的值为0，则取其反变量。而后取乘积项。各种取值组合之间是或逻辑关系，故取以上乘积项之和。

（3）逻辑图：逻辑图是由表示逻辑运算的逻辑符号构成的图形。根据逻辑表达式画逻辑图的方法是：逻辑乘用与门实现，逻辑加用或门实现，逻辑非用非门实现。如判偶函数F?ABC?ABC?ABC?ABC，需要3个非门来实现变量A、B、C的非运算，4个与门来实现与运算X?ABC、Y?ABC、Z?ABC和W?ABC，另外还需1个或门将上述4项相加，逻辑图如图7.1所示。

C C B B A AX &A 1 & 1 &Y≥1ZWFBC 1 &

图7.1 判偶函数的逻辑图

根据逻辑图写逻辑表达式的方法是：从输入端到输出端，逐级写出各个门电路的逻辑表达式，最后写出各个输出端的逻辑表达式。

（4）波形图：波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平构成的图形。

（5）卡诺图：将逻辑函数真值表中的各行排列成矩阵形式，在矩阵的左方和上方按照格雷码的顺序写上输入变量的取值，在矩阵的各个小方格内填入输入变量各组取值所对应的输出函数值，这样构成的图形就是卡诺图。2变量的异或函数F?AB?AB?A?B、3变量的判偶函数F?ABC?ABC?ABC?ABC以及4变量的函数F?ABD?CD的卡诺图分别如图7.2（a）、（b）、（c）所示。

第7章 门电路与逻辑代数 139

3．逻辑函数的化简

逻辑函数通过化简得到的最简与或表达式中，所含与项的数目最少，而且每个与项的变量数目也最少。逻辑函数的化简有公式法和卡诺图法等。

CD AB 00000000011111110100100000B A 01001110 BC A 010010010111101001

011110 （a）异或函数的卡诺图 （b）判偶函数的卡诺图 （c）F?ABD?CD的卡诺图

图7.2 逻辑函数的卡诺图

（1）公式化简法：公式化简法是运用逻辑代数的基本公式和定理来化简逻辑函数。

公式化简法有并项法（应用A?A?1）、配项法（应用A?A(B?B)、加项法（应用

A?A?A）、吸收法（应用A?AB?A）等方法。

（2）卡诺图化简法：卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，在卡诺图上通过并项操作将函数化简。卡诺图化简法的原则是：画出逻辑函数的卡诺图后，将卡诺图中2n（n?0、1、2、3、?）个值为1的相邻小方格圈起来，圈内小方格个数应尽可能多，圈的个数应最少，每个新圈必须包含至少一个在已圈过的圈中没有出现过的小方格，每个小方格可被圈多次，最后将代表每个圈的与项相加，即得所求函数的最简与或表达式。

7.3 习题解答

7.1 将十进制数75转换成二进制和16进制数。

分析 将十进制整数转换成二进制数采用除2取余法，转换成16进制数除了采用除16取余法，也可从所得的二进制数每4位一组直接转换为16进制数。

解 首先将十进制数75转换成二进制数。将十进制整数75连续除以2，求得各次的余数，直到商为0为止，然后将先得到的余数列在低位、后得到的余数列在高位，即得相应的其他进制数。转换过程可用短除法表示，如图7.3所示。所以：

(75)10?(1001011)2 将十进制数75转换成16进制数，可采用除16取余法：75除以16，得商4及最

低位的余数11（16进制数B），再将商4除以2，得商0及余数4，所以：

(75)10?(4B)16

140 第7章 门电路与逻辑代数

7.2 将下列各数转换成十进制数：(101)2， (101)16。 分析 将其他进制数转换为十进制数采用多项式求和法。 解 将(101)2转换成十进制数，为：

(101)2?(1?22?0?21?1?20)10?(5)10

将(101)16转换成十进制数，为：

(101)16?(1?162?0?161?1?160)10?(257)10

2 75 余数 2 37 ??? 1 低位 2 18 ??? 1 2 9 ??? 0 2 4 ??? 1 2 2 ??? 0 2 1 ???　0 0 ???　1 高位图7.3 习题7.1解答用图

7.3 将二进制数110111、1001101分别转换成十进制数和16进制数。

解 将二进制数110111、1001101转换成十进制数，分别为：

(110111)2?(1?25?1?24?0?23?1?22?1?21?1?20)10?(55)10 (1001101)2?(1?26?0?25?0?24?1?23?1?22?0?21?1?20)10?(77)10 将二进制数110111、1001101转换成16进制数，分别为：

(110111)2?(37)16

(1001101)2?(4D)16

7.4 将十进制数92转换成二进制码及8421 码。

分析 十进制数与8421 码的转换按位转换即可。

解 将十进制数92转换成二进制码用短除法表示，如图7.4所示。

2 92 余数 2 46 ??? 0 低位 2 23 ??? 0 2 11 ??? 1 2 5 ??? 1 2 2 ??? 1 2 1 ???　0 0 ???　1 高位图7.4 习题7.4解答用图

第7章 门电路与逻辑代数 141

所以：

(92)10?(1011100)2

因为9的8421码为1001，2的8421码为0010，所以，将十进制数92转换成8421

码为：

(92)10?(10010010)8421

7.5 数码100100101001作为二进制码或8421码时，其相应的十进制数各为多少？

解 数码100100101001作为二进制码时，其相应的十进制数为：

(100100101001)2?(1?211?1?28?1?25?1?23?1?20)10?(2345)10

数码100100101001作为8421码时，其相应的十进制数为：

(100100101001)8421?(929)10

7.6 二极管门电路如图7.5（a）、（b）所示，输入信号A、B、C的高电平为

3V，低电平为0V。

（1）分析输出信号F1、F2和输入信号A、B、C之间的逻辑关系，列出真值表，并导出逻辑函数的表达式。

（2）根据图7.35（c）给出的A、B、C的波形，对应画出F1、F2的波形。

+5VRA F1BCBC-5VRA F2ABC （a） （b）图7.5 习题7.6的图

（c）

分析 分析电路的逻辑关系时，必须对输入信号可能出现的所有情况一一进行分析，并进行状态赋值，即用0、1表示输入信号和输出信号的相应状态，从而列出所需的真值表，写出所需的逻辑表达式。

解 （1）在以下的推导过程中，二极管均视为理想二极管。

对图7.5（a）所示电路，当输入信号A、B、C都为高电平（3V）时，3个二极管均导通，输出F1为高电平（3V）；当输入信号A、B、C中有低电平（0V）时，接低电平的二极管导通，输出F1为低电平（0V），其余二极管截止。设高电平用1表示，低电平用0表示，真值表如表7.2所示。由表7.2可知，F与A、B、C之间的关系是：只有当A、B、C都是1时F才为1，A、B、C当中有0时F为0，满足与逻辑关系，其逻辑表达式表示为：

F1?ABC

对图7.5（b）所示电路，当输入信号A、B、C都为低电平（0V）时，3个二极管