(江苏专版)2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训6数列

Sn＝1·20＋3·21＋…＋(2n－1)·2n－1,2Sn＝1·21＋3·22＋…＋(2n－1)·2n.两式相

减可得：

－Sn＝1·2＋2·2＋2·2＋…＋2·21)·2， ∴－Sn＝1＋1)·2，

∴Sn＝3＋(2n－1)·2－2

nn＋1

nn0

1

2

n－1

21－2

－(2n－1)·2＝1＋2×

1－2

nn－1

－(2n－10分

4

1－21－2

n－1

－(2n－1)·2＝1＋2

nn＋1

－4－(2n－1)·2＝2

nn＋1

－3－(2n－

＝3＋(2n－3)·2.

n14分

16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Tn为数列?

??anan＋1?

1?

?的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数

λ的取值范围．

[解] (1)设数列{an}的公差为d，则 5×4??5a1＋d＝20，2?

??a1＋2d2＝a1a1＋6d，

??a1＝2，又因为d≠0，所以?

??d＝1.

??a1＋2d＝4，

即?2

??2d＝a1d.

2分

4分 5分

所以an＝n＋1. (2)因为

1

anan＋1

＝

1

n＋1n＋2

＝

11－， n＋1n＋2

11111111

所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝

2334n＋1n＋22n＋22因为存在n∈N，使得Tn－λan＋1≥0成立， 所以存在n∈N，使得

*

**

n. n＋2

7分

n－λ(n＋2)≥0成立，

2n＋2

n2

即存在n∈N，使λ≤又

n＋2

2

成立. 10分

n2

n＋2

2＝

11

≤(当且仅当n＝2时取等号)，

?4?162?n＋＋4?

?

n?

1

所以λ≤.

16

1??即实数λ的取值范围是?－∞，?. 16??

14分

17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2，n∈N.

(1)若函数f (x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝

π

处取得最大值a4＋1，求函数6

n*

?ππ?f (x)在区间?－，?上的值域；

?12

2?

(2)求数列{an}的通项公式． [解] (1)∵anan＋1＝2，则an＋1an＋2＝2∴

nn＋1

，

an＋2

＝2， an1

又a1＝1，故a1a2＝2，即a2＝2， ∴a3＝2，a4＝4，

∴A＝a4＋1＝5，故f (x)＝5sin(2x＋φ)，4分 π

又x＝时，f (x)＝5，

6

π?π?∴sin?＋φ?＝1，且0<φ<π，解得φ＝， 6?3?π??∴f (x)＝5sin?2x＋?，

6??

π?7π??ππ?而x∈?－，?，故2x＋∈?0，?，

6?6??122?π??1??从而sin?2x＋?∈?－，1?，

6??2??

6分

?5?综上知f (x)∈?－，5?. ?2?

8分

18．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{an}

12*

的前n项和为Sn，Sn＝an＋an，n∈N.

2(1) 求数列{an}的通项公式；

?1?

(2) 设数列{bn}满足：b1＝1，bn－bn－1＝2an(n≥2)，数列??的前n项和为Tn，求证：

?bn?

Tn<2；

(3)若Tn≤λ(n＋4)对任意n∈N恒成立，求λ的取值范围.

【导学号：56394043】

112

[解] (1)n＝1时，a1＝a1＋a1，∴a1＝.

221

S＝a＋a??2?1S＝a＋a??2

2

*

n－1n－1n－1

2

nnn

1122

?an＝an－an－1＋an－an－1，

22

1?1??(an＋an－1)?an－an－1－?＝0，∵an>0，∴an－an－1＝，

2?2?11

∴{an}是以为首项，为公差的等差数列．

221

∴an＝n.

2

(2)证明：bn－bn－1＝n，

4分

b－b＝2??b－b＝3????b－b＝n23

12

nn－1

?bn－b1＝

n＋2

2

n－1

?bn＝

nn＋1

2

.

1

bn＝

2

nn＋1

1?11?1??1?111?＝2?－，∴Tn＝2?1－＋－＋…＋－＝2?1－???＝nn＋1??nn＋1??223?n＋1?

12分

2n＝

22

，当且仅当n＝2时，44n＋＋5n＋＋5

2n，即Tn<2. n＋1(3)由

2n≤λ(n＋4)得λ≥n＋1

n＋1n＋4

nn2

有最大值，

92∴λ≥. 9

16分

19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)k(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．

5×4

[解] (1)设公差为d，则5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，∴a1＝－1，d＝3.

2∴{an}的通项公式为an＝3n－4. 3n(2)Sn＝－n＋

6分

2

nn－1

2

，2Sn＋8n＋27＝3n＋3n＋27，an＋4＝3n；8分

9?99?n(－1)k－?n＋1＋?；当n为偶数时，k

n?n?

n99

∵n＋1＋≥7，当且仅当n＝3时取等号，∴当n为奇数时，n＋1＋的最小值为7，

nn92929

当n为偶数时，n＝4时，n＋1＋的最小值为，∴－7

n44

1x20．(本小题满分16分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f (x)＝＋log2的图象上任意两

21－x→1→→1

点，且OM＝(OA＋OB)，已知点M的横坐标为.

22(1)求证：M点的纵坐标为定值；

?1??2??n－1?，n∈N*，且n≥2，求S；

(2)若Sn＝f ??＋f ??＋…＋f ??n?n?

?n?

?n?

2

??3，n＝1，

(3)已知a＝?1

??S＋1Snnn＋1

＋1

*

，n≥2.

其中n∈N.Tn为数列{an}的前n项

*

和，若Tn<λ(Sn＋1＋1)对一切n∈N都成立，试求λ的取值范围.

【导学号：56394044】

→1→→

[解] (1)证明：∵OM＝(OA＋OB)，∴M是AB的中点．设M点的坐标为(x，y)，

211

由(x1＋x2)＝x＝，得x1＋x2＝1，则x1＝1－x2或x2＝1－x1.2分 22

x11x2?111?1

＋＋log2而y＝(y1＋y2)＝[f (x1)＋f (x2)]＝?＋log2? 1－x121－x2?222?2x1x2?1?x1x2?1?

＋log2·＝?1＋log2＝?1＋log2 ?1－x11－x2?2?1－x11－x2?2??x1x2?11?11

＝?1＋log2?＝(1＋0)＝，∴M点的纵坐标为定值.

x1x2?22?22

5分