江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

方法二、运用直线的普通方程代入抛物线的方程，求得交点坐标，运用两点的距离公式，可得弦长． 【解答】解：（1）曲线C：ρ=2cosθ，即为ρ2=2ρcosθ， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得x2+y2=2x，

则曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心（1，0），半径为1，

直线l的参数方程为（t为参数），由代入法，消去t，可得

直线l的普通方程为x+y﹣3=0， 圆心到直线l的距离为

所以直线l与曲线C相离．

代入抛物线x2=4y，得

，

（2）解法一、将直线l的参数方程为

，

即

，解得

，

，

所以|AB|=|t1﹣t2|=8．

解法二、直线l的普通方程为x+y﹣3=0，联立x2=4y， 解得

，

，

即A（2，1），B（﹣6，9）， 所以|AB|=

=8

．

12．在一个口袋中装有3个白球，4个黑球，3个红球，一次从中摸出3个球． （1）求摸出的3个球颜色不全相同的概率；

（2）规定摸出1个白球、1个黑球、1个红球分别得1分、2分、3分，设X为摸出3个球的得分之和，求随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A，利用对立事件概率计算公式能求出摸出的3个球颜色不全相同的概率．

（2）随机变量X≥6的可能取值为6，7，8，9，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）． 【解答】解：（1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A， 则其概率为

． …

∴摸出的3个球颜色不全相同的概率为．…

（2）随机变量X≥6的可能取值为6，7，8，9，

，

，

，

． …

∴随机变量X的分布列为 X 6 7 P ∴

8 9 …

13．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点M在AA1上． （1）当直线BD1与直线CM所成角的余弦值为时，求AM的长； （2）当AM=1时，求二面角C﹣BD1﹣M的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出AM的长．

（2）求出平面CBD1的一个法向量和平面MBD1的一个法向量，利用向量法能求出二面角C﹣BD1﹣M的余弦值． 【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz． 设AM=a（0≤a≤2），则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）， C（0，1，0），D1（0，0，2），M（1，0，a）．

∴∴

，．

，

， ．

∵直线BD1与直线CM所成角的余弦值为， ∴

，

解得．∴． …

，

．

=（1，0，0），

（2）设平面CBD1的一个法向量为平面MBD1的一个法向量为由

，

，

得

，令z1=1，得

=（0，﹣1，1），

．

由，，

得

，令y2=1，得

，

，

．

，

．

所以二面角C﹣BD1﹣M的余弦值为

．…

14．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（e≈2.71828），x∈R． （1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数； （2）求证：对于任意的正实数a，b，都有f（

）≤f（

）；

（3）若存在x0∈R，使f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）利用导数f′（x）≥0判断函数f（x）是单调增函数； （2）根据f（x）的单调性，利用分析法即可证明

成立；

（3）法1：利用反证法，假设f（x0）≠x0，从假设出发，推出矛盾，从而说明假设不成立，即结论成立；

法2：根据题意，构造函数，利用函数的单调性，即可证明结论成立． 【解答】解：（1）因为

成立，

所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数；… （2）因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数， 要证

，只要证

，

，当且仅当x=0时等号

因为a，b是正实数，所以只要证4ab≤（1+a2）（1+b2），

即证4ab≤1+a2+b2+a2b2，只要证（a﹣b）2+（ab﹣1）2≥0，显然成立， 所以

； …

（3）法1：假设f（x0）≠x0，则f（x0）＞x0或f（x0）＜x0； 若f（x0）＞x0，则由（1）知f（f（x0））＞f（x0）＞x0，与f（f（x0））=x0矛盾； 若f（x0）＜x0，则由（1）知f（f（x0））＜f（x0）＜x0，与f（f（x0））=x0矛盾； 又f（x0）=x0，则f（f（x0））=f（x0）=x0； 综上所述，f（x0）=x0； …