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江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

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方法二、运用直线的普通方程代入抛物线的方程,求得交点坐标,运用两点的距离公式,可得弦长. 【解答】解:(1)曲线C:ρ=2cosθ,即为ρ2=2ρcosθ, 由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得x2+y2=2x,

则曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1,圆心(1,0),半径为1,

直线l的参数方程为(t为参数),由代入法,消去t,可得

直线l的普通方程为x+y﹣3=0, 圆心到直线l的距离为

所以直线l与曲线C相离.

代入抛物线x2=4y,得

(2)解法一、将直线l的参数方程为

,解得

所以|AB|=|t1﹣t2|=8.

解法二、直线l的普通方程为x+y﹣3=0,联立x2=4y, 解得

即A(2,1),B(﹣6,9), 所以|AB|=

=8

12.在一个口袋中装有3个白球,4个黑球,3个红球,一次从中摸出3个球. (1)求摸出的3个球颜色不全相同的概率;

(2)规定摸出1个白球、1个黑球、1个红球分别得1分、2分、3分,设X为摸出3个球的得分之和,求随机变量X≥6的概率分布及数学期望E(X≥6).

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A,利用对立事件概率计算公式能求出摸出的3个球颜色不全相同的概率.

(2)随机变量X≥6的可能取值为6,7,8,9,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X≥6的概率分布及数学期望E(X≥6). 【解答】解:(1)记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A, 则其概率为

. …

∴摸出的3个球颜色不全相同的概率为.…

(2)随机变量X≥6的可能取值为6,7,8,9,

. …

∴随机变量X的分布列为 X 6 7 P ∴

8 9 …

13.如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,点M在AA1上. (1)当直线BD1与直线CM所成角的余弦值为时,求AM的长; (2)当AM=1时,求二面角C﹣BD1﹣M的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【分析】(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系D﹣xyz,利用向量法能求出AM的长.

(2)求出平面CBD1的一个法向量和平面MBD1的一个法向量,利用向量法能求出二面角C﹣BD1﹣M的余弦值. 【解答】解:(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz. 设AM=a(0≤a≤2),则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),D1(0,0,2),M(1,0,a).

∴∴

,.

, .

∵直线BD1与直线CM所成角的余弦值为, ∴

解得.∴. …

=(1,0,0),

(2)设平面CBD1的一个法向量为平面MBD1的一个法向量为由

,令z1=1,得

=(0,﹣1,1),

由,,

,令y2=1,得

所以二面角C﹣BD1﹣M的余弦值为

.…

14.已知函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x(e≈2.71828),x∈R. (1)求证:函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (2)求证:对于任意的正实数a,b,都有f(

)≤f(

);

(3)若存在x0∈R,使f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)利用导数f′(x)≥0判断函数f(x)是单调增函数; (2)根据f(x)的单调性,利用分析法即可证明

成立;

(3)法1:利用反证法,假设f(x0)≠x0,从假设出发,推出矛盾,从而说明假设不成立,即结论成立;

法2:根据题意,构造函数,利用函数的单调性,即可证明结论成立. 【解答】解:(1)因为

成立,

所以函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调增函数;… (2)因为f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调增函数, 要证

,只要证

,当且仅当x=0时等号

因为a,b是正实数,所以只要证4ab≤(1+a2)(1+b2),

即证4ab≤1+a2+b2+a2b2,只要证(a﹣b)2+(ab﹣1)2≥0,显然成立, 所以

; …

(3)法1:假设f(x0)≠x0,则f(x0)>x0或f(x0)<x0; 若f(x0)>x0,则由(1)知f(f(x0))>f(x0)>x0,与f(f(x0))=x0矛盾; 若f(x0)<x0,则由(1)知f(f(x0))<f(x0)<x0,与f(f(x0))=x0矛盾; 又f(x0)=x0,则f(f(x0))=f(x0)=x0; 综上所述,f(x0)=x0; …

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方法二、运用直线的普通方程代入抛物线的方程,求得交点坐标,运用两点的距离公式,可得弦长. 【解答】解:(1)曲线C:ρ=2cosθ,即为ρ2=2ρcosθ, 由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得x2+y2=2x, 则曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1,圆心(1,0),半径为1, 直线l的参数方程为(t为参数),由代入法,消去t,可得 直线l的普通方程为x+y﹣3=0, 圆心到直线l的距离为所以直线l与曲线C相离. 代入抛物线x2=4y,得 , (2)解法一、将直线l的参数方程为, 即,解得,, 所以|AB|=|t1﹣t2|=8.

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