江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

复数z满足|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值是6． 故答案为：6．

4．甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为，则恰有2人译出密码的概率是

．

【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】由于每人译出密码的概率相同，根据排列组合求出满足条件的概率即可． 【解答】解：由题意得： 恰有2人译出密码的概率是故答案为：

．

?=

，

5．观察等式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，…，由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，13+23+33+…+n3=

．

【考点】归纳推理．

【分析】左边是连续自然数的立方和，右边是左边的底数的和的平方，由此得到结论． 【解答】解：13=1 13+23=9=（1+2）2，

13+23+33=36=（1+2+3）2，

13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2，

由以上可以看出左边是连续自然数的立方和，右边是左边的底数的和的平方， 照此规律，第n个等式可为13+23+33+…+n3=故答案为：

．

．

6．类比关于正三角形的结论“边长为a的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值

a”，可以得到空间中“棱长为a的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值 a ．

【考点】类比推理．

【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．

【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

a，

在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，

如图：

由棱长为a可以得到BF=

a，BO=AO=

﹣OE，

在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2， 把数据代入得到OE=

，

=

a，

∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×故答案为：

a

7．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAA1=∠DAA1=60°，则A1C的长为 ．

【考点】棱柱的结构特征． 【分析】根据【解答】解：∵∴|

|2=|

==|2+|

++|2+|

++

，求模长即可． ，

?

+2

?

+2

?

|2+2

=52+42+32+2×5×4cos60°+2×5×3cos60°+2×4×3cos90° =85， ∴|

|=

，即A1C的长是．

．

故答案为：

8．计算：C+C+C+C+C+…+C+C= 1140 ．

【考点】组合及组合数公式．

【分析】利用组合数公式的性质Cn+13﹣cn3=Cn2，可得 C22+C32+C42+…+C192 =C33 +（C43﹣C33）+（C53﹣C43）+…+（C203﹣C193），化简得到结果． 【解答】解：C=

+

+

+

++C

+C+…+

+C+

+C，

+…+C

+C

∵Cn+13﹣cn3=Cn2， ∴C22+C32+C42+…+C192

=C33 +（C43﹣C33）+（C53﹣C43）+…+（C203﹣C193） =C203 =

=1140，

故答案为：1440．

二、解答题（本大题共8小题，共120分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中取出4个数字，试问： （1）有多少个没有重复数字的排列？

（2）能组成多少个没有重复数字的四位数？

（3）能组成多少个大于3000的没有重复数字的四位偶数？ 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】（1）任取4个数字，然后再排列即可．

（2）第一位数字不能为0，故有9种取法，其它3个位置任意，问题得以解决． （3）求出个位是0，2的数的个数，个位是4，6，8的数的个数，相加即得所求． 【解答】解：（1）任取4个数字，然后再排列，故有

．

（2）第一位数字不能为0，故有9种取法，其它3个位置任意，故有9A93=4356，

（3）个位是0或2时，最高位是有7种取法，其它2个位置任意，共有2×7×A82=784个， 对于个位是4，6，8中的一个数字，先排个位有3种方法，

再排最高位有6种排法，其它2个位置任意，共有3×6×A82=1008个， 综上，大于3000的没有重复数字的四位偶数共有784+1008=1792

10．已知矩阵A=向量

=

．

，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），

（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；

（2）计算A20．

【考点】特征向量的意义． 【分析】（1）根据矩阵的坐标变换，代入，列方程组，即可求得a和b的值，求得矩阵A，求得矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，根据特征值求得特征向量； （2）令β=mα1+nα2，代入求得m和n的值，根据矩阵的乘法即可求得A20的值．

【解答】解：（1）由题知解得：所以A=

， ．…

，即，

矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ（λ﹣2）﹣3=0，

所以λ1=﹣1，λ2=3，设对应的特征向量为α1=，α2=

．

由Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，可得3x1+y1=0，x2﹣y2=0， 故属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=属于特征值λ2=3的一个特征向量为α2=（2）令β=mα1+nα2，则解得m=﹣1，n=6． … 所以=﹣1×（

）+6×（

+6×3×

α2），

，

，

=m

+n

．… ，

，

=﹣1×（﹣1）20×

=．…

11．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）判断直线l与曲线C的位置关系并说明理由；

（2）若直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，求线段AB的长． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入可得曲线C的直角坐标方程；由代入消元可得直线l的普通方程，求得圆的圆心和半径，及圆心到直线的距离，与半径比较，即可得到所求直线和圆的位置关系；

（2）方法一、将直线的参数方程代入抛物线的方程，求得参数的值，由参数的几何意义，可得弦长；