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江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

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复数z满足|z|=1,则|z﹣3+4i|的最大值是6. 故答案为:6.

4.甲、乙、丙3人独立地破译某个密码,每人译出密码的概率均为,则恰有2人译出密码的概率是

【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式.

【分析】由于每人译出密码的概率相同,根据排列组合求出满足条件的概率即可. 【解答】解:由题意得: 恰有2人译出密码的概率是故答案为:

?=

5.观察等式:13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,…,由以上等式推测到一个一般的结论,对于n∈N*,13+23+33+…+n3=

【考点】归纳推理.

【分析】左边是连续自然数的立方和,右边是左边的底数的和的平方,由此得到结论. 【解答】解:13=1 13+23=9=(1+2)2,

13+23+33=36=(1+2+3)2,

13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2,

由以上可以看出左边是连续自然数的立方和,右边是左边的底数的和的平方, 照此规律,第n个等式可为13+23+33+…+n3=故答案为:

6.类比关于正三角形的结论“边长为a的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值

a”,可以得到空间中“棱长为a的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值 a .

【考点】类比推理.

【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.固我们可以根据已知中平面几何中,关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”,推断出一个空间几何中一个关于面的性质.

【解答】解:类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

a,

在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和,

如图:

由棱长为a可以得到BF=

a,BO=AO=

﹣OE,

在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2, 把数据代入得到OE=

=

a,

∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×故答案为:

a

7.如图,已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,则A1C的长为 .

【考点】棱柱的结构特征. 【分析】根据【解答】解:∵∴|

|2=|

==|2+|

++|2+|

++

,求模长即可. ,

?

+2

?

+2

?

|2+2

=52+42+32+2×5×4cos60°+2×5×3cos60°+2×4×3cos90° =85, ∴|

|=

,即A1C的长是.

故答案为:

8.计算:C+C+C+C+C+…+C+C= 1140 .

【考点】组合及组合数公式.

【分析】利用组合数公式的性质Cn+13﹣cn3=Cn2,可得 C22+C32+C42+…+C192 =C33 +(C43﹣C33)+(C53﹣C43)+…+(C203﹣C193),化简得到结果. 【解答】解:C=

+

+

+

++C

+C+…+

+C+

+C,

+…+C

+C

∵Cn+13﹣cn3=Cn2, ∴C22+C32+C42+…+C192

=C33 +(C43﹣C33)+(C53﹣C43)+…+(C203﹣C193) =C203 =

=1140,

故答案为:1440.

二、解答题(本大题共8小题,共120分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中取出4个数字,试问: (1)有多少个没有重复数字的排列?

(2)能组成多少个没有重复数字的四位数?

(3)能组成多少个大于3000的没有重复数字的四位偶数? 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】(1)任取4个数字,然后再排列即可.

(2)第一位数字不能为0,故有9种取法,其它3个位置任意,问题得以解决. (3)求出个位是0,2的数的个数,个位是4,6,8的数的个数,相加即得所求. 【解答】解:(1)任取4个数字,然后再排列,故有

(2)第一位数字不能为0,故有9种取法,其它3个位置任意,故有9A93=4356,

(3)个位是0或2时,最高位是有7种取法,其它2个位置任意,共有2×7×A82=784个, 对于个位是4,6,8中的一个数字,先排个位有3种方法,

再排最高位有6种排法,其它2个位置任意,共有3×6×A82=1008个, 综上,大于3000的没有重复数字的四位偶数共有784+1008=1792

10.已知矩阵A=向量

=

,其中a,b∈R,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点Q(3,3),

(1)求a,b的值及矩阵A的特征值、特征向量;

(2)计算A20.

【考点】特征向量的意义. 【分析】(1)根据矩阵的坐标变换,代入,列方程组,即可求得a和b的值,求得矩阵A,求得矩阵A的特征多项式f(λ),令f(λ)=0,求得特征值,根据特征值求得特征向量; (2)令β=mα1+nα2,代入求得m和n的值,根据矩阵的乘法即可求得A20的值.

【解答】解:(1)由题知解得:所以A=

, .…

,即,

矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ(λ﹣2)﹣3=0,

所以λ1=﹣1,λ2=3,设对应的特征向量为α1=,α2=

由Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,可得3x1+y1=0,x2﹣y2=0, 故属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=属于特征值λ2=3的一个特征向量为α2=(2)令β=mα1+nα2,则解得m=﹣1,n=6. … 所以=﹣1×(

)+6×(

+6×3×

α2),

=m

+n

.… ,

=﹣1×(﹣1)20×

=.…

11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正

半轴,建立平面直角坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数).

(1)判断直线l与曲线C的位置关系并说明理由;

(2)若直线l与抛物线x2=4y相交于A,B两点,求线段AB的长. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,代入可得曲线C的直角坐标方程;由代入消元可得直线l的普通方程,求得圆的圆心和半径,及圆心到直线的距离,与半径比较,即可得到所求直线和圆的位置关系;

(2)方法一、将直线的参数方程代入抛物线的方程,求得参数的值,由参数的几何意义,可得弦长;

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复数z满足|z|=1,则|z﹣3+4i|的最大值是6. 故答案为:6. 4.甲、乙、丙3人独立地破译某个密码,每人译出密码的概率均为,则恰有2人译出密码的概率是 . 【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】由于每人译出密码的概率相同,根据排列组合求出满足条件的概率即可. 【解答】解:由题意得: 恰有2人译出密码的概率是故答案为:. ?=, 5.观察等式:13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,…,由以上等式推测到一个一般的结论,对于n∈N*,13+23+33+…+n3= . 【考点】归纳推理. 【分析】左边是连续自然数的

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