江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2018-2019学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共70分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是______． 2．已知矩阵

的逆矩阵是

，则正实数a=______．

3．已知复数z满足|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值是______．

4．甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为，则恰有2人译出密码的概率是______．

5．观察等式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，…，由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，13+23+33+…+n3=______．

6．类比关于正三角形的结论“边长为a的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值

a”，可以得到空间中“棱长为a的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值______． 7．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAA1=∠DAA1=60°，则A1C的长为______．

8．计算：C+C+C+C+C+…+C+C=______．

二、解答题（本大题共8小题，共120分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中取出4个数字，试问： （1）有多少个没有重复数字的排列？

（2）能组成多少个没有重复数字的四位数？

（3）能组成多少个大于3000的没有重复数字的四位偶数？ 10．已知矩阵A=向量

=

．

，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），

（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；

（2）计算A20．

11．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）判断直线l与曲线C的位置关系并说明理由；

（2）若直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，求线段AB的长．

12．在一个口袋中装有3个白球，4个黑球，3个红球，一次从中摸出3个球． （1）求摸出的3个球颜色不全相同的概率；

（2）规定摸出1个白球、1个黑球、1个红球分别得1分、2分、3分，设X为摸出3个球的得分之和，求随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）．

13．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点M在AA1上． （1）当直线BD1与直线CM所成角的余弦值为时，求AM的长； （2）当AM=1时，求二面角C﹣BD1﹣M的余弦值．

14．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（e≈2.71828），x∈R． （1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数； （2）求证：对于任意的正实数a，b，都有f（

）≤f（

）；

（3）若存在x0∈R，使f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

15．设（3x﹣1）15=a0+a1x+a2x2+…+akxk…+a14x14+a15x15求： （1）

ak；

（2）a4+a6+a8+a10+a12+a14； （3）

（k+1）ak．

16．将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…，分别计算各组包含的正整数的和如下： S1=1，

S2=2+3=5， S3=4+5+6=15

S4=7+8+9+10=34，

S5=11+12+13+14+15=65，

S6=16+17+18+19+20+21=111， …

记Tn=S2+S4+S6+…+S2n． （1）求T1，T2，T3，T4；

（2）猜想Tn的结果，并用数学归纳法证明．

2018-2019学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共70分） 1．复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是 2 ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+i）2得答案． 【解答】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，

则复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是：2． 故答案为：2．

2．已知矩阵

的逆矩阵是

，则正实数a= 2 ．

【考点】逆矩阵的意义．

【分析】由求得丨A丨=a2﹣3，由A﹣1=【解答】解：设A=

，则丨A丨=a2﹣3，

×A*，求得A﹣1，根据矩阵相等求得a的值．

则A的逆矩阵为：，

∴=，

解得：a=±2，

由a＞0，a=2， 故答案为：2．

3．已知复数z满足|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值是 6 ． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】直接利用复数的几何意义，转化求解即可． 【解答】解：复数z满足|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值，

就是单位圆上的点与（3，﹣4）距离之和的最大值，也就是原点与（3，﹣4）距离之和加半径， 即：

=6．