数学建模题目及其答案(疾病诊断)

按照案例顺序的统计量 案例数目 初始 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 交叉验证a 1 2 3 4 5 实际组 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 预测组 1 1 1 3** 1 2 2 3** 2 2 2** 3 3 3 3 2** 2** 1 3** 1 p .273 .369 .557 .114 .658 .470 .475 .907 .441 .535 .999 .910 .317 .508 .897 .000 .005 .390 .394 .004 最高组 第 P(D>d | G=g) 到质心的平方 df 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 P(G=g | D=d) Mahalanobis 距离 .994 .949 .998 .597 .999 .487 .675 .516 .564 .616 .611 .664 .778 .619 .614 .583 .913 .997 .855 .999 .838 .196 .003 .188 .218 组 2 2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 P(G=g6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1** 2 3** 1** 2 2** 3 3 2** 2** .148 .521 .975 .193 .699 .969 .874 .328 .589 .631 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 .824 .535 .566 .918 .507 .723 .601 .612 .526 .518 .489 .546

3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 对初始数据来说，平方 Mahalanobis 距离基于典则函数。 对交叉验证数据来说，平方 Mahalanobis 距离基于观察值。 **. 错误分类的案例

a. 仅对分析中的案例进行交叉验证。 在交叉验证中，每个案例都是按照从该案例以外的所有其他案例派生的函数来分类的。

图-23

上表中的案例数目列，是所有个体的编号。实际组列是每个个体实际上所在的类型。在最高组（具有最大分辨率）下的预测组列，是按照计算结果的类型。可以看到编号4经过判别分析后被判到了第三种类型中，即非胃病；编号8经过判别分析后被判到了第三种类型中，即非胃病；编号11经过判别分析后被判到了第二种类型中，即萎缩性胃炎。

上表中的最高组（具有最大分辨率）下的P（D>d | G=g）列和df列，是在样本属于

该类型而判别不是相应类型的条件概率及其自由度。表中P（D=d | G=g）列是判别样本属于相应类型，而样本确实是相应类型的后验概率。从表中可以看出后验概率还是比较大的。表中的最高组下的到质心的平方 Mahalanobis 距离列，是相应个体距类别重心的马氏距离的平方。

上表中的第二最高组（具有第二大分辨率）下的组列，是把相应判为相应类型的情

况。表中的第二最高组下的P（D=d | G=g）是判别样本属于相应类型，而样本确实是相

应类型的后验概率。表中第二最高组下的到质心的平方 Mahalanobis 距离列，与表中最高组下的定义相同。 分类结果b,c 表中最后一列是两个典则判别函数之值。

初始 计数 类型 1 2 3 % 1 2 3 1 预测组成员 2 4 0 0 .0 .0 2 2 0 .0 0 4 1 .0 2 2 3 3 1 1 4 1 1 2 合计 5 5 5 5 5 5 交叉验证a 计数 1 2 3 % 1 2 3 a. 仅对分析中的案例进行交叉验证。 在交叉验证中，每个案例都是按照从该案例以外的所有其他案例派生的函数来分类的。 b. 已对初始分组案例中的 % 个进行了正确分类。 c. 已对交叉验证分组案例中的 % 个进行了正确分类。 图-24

由图-24可以得出该模型的判别正确率为80%，较低。

八 模型的评价与改进方向

在此模型下，我们是假设把所有存在的判别变量都选入判别函数，并说明如何通过

计算标准化判别函数系数，辨认出不重要的判别变量，但最后的判别正确率不太高，因此我们必须对模型进行改进。

根据图-11和图-13可计算各个指标对整个判别函数总体的判别系数。

对X1，其判别系数为：*+*=； 对X2，其判别系数为：*+*（）=； 对X3，其判别系数为：*+*=； 对X4，其判别系数为：*+*=。

根据以上平均判别系数的数据，可以发现X3的平均判别系数最大，判别意义最大；X4的平均判别系数最小，即其判别意义最小。因此，我们在此过程中可以考虑将X4舍去。通过以上类似过程，我们可以得到每个个体的判别结果如图-25和图-26所示，则最后的判别正确率为%。 按照案例顺序的统计量 案例数目 初始 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际组 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 预测组 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 p .043 .654 .415 .133 .656 .411 .474 .982 .564 .549 最高组 第 P(D>d | G=g) 到质心的平方 df 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P(G=g | D=d) Mahalanobis 距离 .996 .815 .996 .442 .999 .459 .626 .547 .454 .625 .848 .845 .036 组 2 2 3 3 2 1 3 3 3 3 P(G=g