山东省济宁市高考数学专题复习 第12讲 函数模型及其应用练习 新人教A版

第九节 函数模型及其应用

[考情展望] 1.考查二次函数模型的建立及最值问题.2.考查分段函数模型的建立及最值问题.3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.4.合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值．

一、三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 大小比较 二、常见的几种函数模型 1．一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． 2．反比例函数模型：y＝(k≠0)．

3．指数函数模型：y＝a·b＋c(b＞0，b≠1，a≠0)． 4．对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)． 5．幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)． 6．分段函数模型．

求解近似函数模型的步骤

nxy＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 单调递增 越来越快 单调递增 越来越慢 nx单调递增 相对平稳 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a kx

1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间

t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )

【解析】 由题意知h＝20－5t，故选B. 【答案】 B

2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝0.5×[m]＋1(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.62]＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.2]时，函数f(m)的值域是( )

A．{1,2,3,4} C．{1,1.5,2.5,3}

B．{1,1.5,2,2.5} D．{1.5,2,2.5}

【解析】 当m∈[0.5,3.2]时，[m]所有可能值为0,1,2,3共四个，故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}．

【答案】 B

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件12

时的生产成本为C(x)＝x＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该

2企业一个月应生产该商品数量为( )

A．36万件 C．22万件

B．18万件 D．9万件

12

【解析】 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)＋142，

2当x＝18时，L(x)有最大值． 【答案】 B

4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．

【解析】 已知本金为a元，利率为r，则 1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，

2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)， 3期后本利和为y＝a(1＋r)， …

3

2

x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.

【答案】 y＝a(1＋r)，x∈N

5．(2011·湖北高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记

x录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

【解析】 由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，

9＝lg x＋3,5＝lg y＋3，解得x＝10，y＝10.

6

2

x106

所以＝2＝10 000.

y10

【答案】 6 10 000 6．(2013·陕西高考)在

图2－9－1

如图2－9－1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．

x40－y【解析】 设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝

4040x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．

【答案】 20

考向一 [033] 一次函数与二次函数模型的应用

(2014·盐城模拟)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图2－9－2

所示的抛物线一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h≥1)时达到距水面最大高度4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．

(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；

(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．

图2－9－2

【思路点拨】 (1)利用顶点式求抛物线方程．

(2)利用抛物线方程在区间[5,6]内有解，求h的取值范围． 【尝试解答】 由题意，最高点为(2＋h,4)(h≥1)． 设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]＋4

(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)＋4(*)． 将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1. 即所求抛物线的方程为y＝－x＋6x－5.

(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]＋4，得ah＝－1. 由题意，方程a[x－(2＋h)]＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 122

令f(x)＝a[x－(2＋h)]＋4＝－2[x－(2＋h)]＋4，

2

2

2

2

2

2

h??f则???f5＝－6＝－

1

2

hh3－h4－h2

＋4≥0，＋4≤0.

1

2

2

4解得1≤h≤.

3

?4?答：达到比较好的训练效果时的h的取值范围是?1，?. ?3?

规律方法1 1.本例

1在求解时，巧设抛物线的顶点式方程，从而使运算量大大