中考数学压轴题汇编：几何综合（附解析）

中考数学压轴题汇编：几何综合（附解析）

（2018年）

1．（2018?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°， ∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．

作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10． 在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=， ∴BE=AB?cos∠ABE=∴AE=∴AF=AE﹣EF=

=

， ，

．

﹣10=

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°， ∴∠ABC+∠ADF=90°， ∵cos∠ABC=，

∴sin∠ADF=cos∠ABC=．

在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，

∴AD===6．

2．（2018?南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证： （1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

证明：（1）

延长OA到E， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， 又∠BOE=∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE=2∠BAO， 同理∠DOE=2∠DAO，

∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO） 即∠BOD=2∠BAD， 又∠C=2∠BAD， ∴∠BOD=∠C； （2）连接OC，

∵OB=OD，CB=CD，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC，

∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，

∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，

∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD， 又∠BOD=∠BCD， ∴∠BOC=∠BCO， ∴BO=BC，

又OB=OD，BC=CD， ∴OB=BC=CD=DO， ∴四边形OBCD是菱形．

3．（2018?淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．

解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下： 连接OE、OD，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠OAC=90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点， ∴OE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3， ∵OB=OD， ∴∠B=∠3， ∴∠1=∠2， 在△AOE和△DOE中

，

∴△AOE≌△DOE，

∴∠ODE=∠OAE=90°， ∴OA⊥AE，

∴DE为⊙O的切线； （2）∵点E是AC的中点， ∴AE=AC=2.4，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴图中阴影部分的面积=2?×2×2.4﹣

=4.8﹣

π．

4．（2018?连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；