2019年高考题和高考模拟题理科数学分项版汇编专题专题03 导数及其应用 解析版

（2）设函数g(x)?(x2?2x?2?a)ex?ef(x)，其中e?2.71828...是自然对数的底数，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6x?y?10?0；

（2）当a?0时，g(x)在(??,??)上单调递增，无极值；当a?0时，g(x)在(??,?a)和(a,??)单调递增，在(?a,a)单调递减，极大值为g(?a)?(2a?2)e?ae?a2，极小值为4g(a)?(?2a?2)eae?a2. 4【解析】（1）由题意f?(x)?x3?ax，所以当a?1时，f(2)?2，f?(2)?6， 因此曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y?2?6(x?2)， 即6x?y?10?0.

（2）因为g(x)?(x2?2x?2?a)ex?ef(x)， 所以g?(x)?(2x?2)ex?(x2?2x?2?a)ex?ef'(x)

?(x2?a)ex?e(x3?ax)?(x2?a)(ex?ex)，

令h(x)?ex?ex，则h?(x)?ex?e， 令h?(x)?0得x?1，

当x?(??,1)时，h?(x)?0，h(x)单调递减， 当x?(1,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增， 所以当x?1时，h(x)min?h(1)?0， 也就说，对于?x?R恒有h(x)?0. 当a?0时，g?(x)?(x2?a)h(x)?0，

g(x)在(??,??)上单调递增，无极值；

当a?0时，令g?(x)?0，可得x??a． 当x??a或x?当?a?x?2a时，g?(x)?(x?a)h(x)?0，g(x)单调递增，

a时，g?(x)?0，g(x)单调递减，

?a因此，当x??a时，g(x)取得极大值g(?a)?(2a?2)e当x?e?a2； 4a时，g(x)取得极小值g(a)?(?2a?2)eae?a2. 4综上所述：

当a?0时，g(x)在(??,??)上单调递增，无极值；

当a?0时，g(x)在(??,?a)和(a,??)上单调递增，在(?a,a)上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值， 极大值为g(?a)?(2a?2)e极小值为g(a)?(?2a?2)e?ae?a2， 4ae?a2. 4【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数??(??)=ln???????，??(??)=??2，??∈??.

（1）求函数??(??)的极值点；

（2）若??(??)≤??(??)恒成立，求??的取值范围.

【答案】（1）极大值点为??，无极小值点.（2）??≥?1.

【解析】（1）f?x??lnx?ax的定义域为(0,+∞)，??′(??)=?????， 当??≤0时，??′(??)=???>0，

??1

1

1

所以??(??)在(0,+∞)上单调递增，无极值点；

当??>0时，解??′(??)=?????>0得0??， 所以??(??)在(0,??)上单调递增，在(??,+∞)上单调递减， 所以函数??(??)有极大值点，为??，无极小值点. （2）由条件可得ln?????2?????≤0(??>0)恒成立， 则当??>0时，??≥令?(??)=

ln????

ln????

1

1

1

1

1

1

1

???恒成立，

1???2?ln??

??2

???(??>0)，则?′(??)=

，

令??(??)=1???2?ln??(??>0)，

则当??>0时，??′(??)=?2?????<0，所以??(??)在(0,+∞)上为减函数. 又??(1)=0，所以在(0,1)上，?′(??)>0；在(1,+∞)上，?′(??)<0. 所以?(??)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以?(??)max=?(1)=?1，所以??≥?1.

【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数??(??)=ln?????e??+????(??∈??).

（1）若函数??(??)在[1,+∞)上单调递减，求实数??的取值范围； （2）若??=1，求??(??)的最大值.

1

【答案】（1）??≤2e?1；（2）??(??)max=?1.

【解析】（1）由题意知，??′(??)=???(e??+??e??)+?? =???(??+1)e??+??≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以??≤(??+1)e?????在[1,+∞)上恒成立. 令??(??)=(??+1)e???，则??′(??)=(??+2)e??+

??1

1??2

1

1

1

>0，

所以??(??)在[1,+∞)上单调递增，所以??(??)min=??(1)=2e?1， 所以??≤2e?1.

（2）当??=1时，??(??)=ln?????e??+??(??>0). 则??′(??)=?(??+1)e??+1=(??+1)(?e??)，

??

??

1

1

令??(??)=?e??，则??′(??)=?

??

11??2?e??<0，

所以??(??)在(0,+∞)上单调递减.

由于??()>0，??(1)<0，所以存在??0>0满足??(??0)=0，即e??0=

21

1??0

.

当??∈(0,??0)时，??(??)>0，??′(??)>0；当??∈(??0,+∞)时，??(??)<0，??′(??)<0. 所以??(??)在(0,??0)上单调递增，在(??0,+∞)上单调递减. 所以??(??)max=??(??0)=ln??0???0e??0+??0， 因为e??0=

1??0

，所以??0=?ln??0，

所以??(??0)=???0?1+??0=?1， 所以??(??)max=?1.

【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，

提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0?p?1)，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.

（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f(p)，求f(p)；

（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.

【答案】（1）?3??5+12??4?17??3+9??2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.

33 22(【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C3??1???)+C3??，1(一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C3??1???)2[1?(1???)2]，

所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为

3322(1(??(??)=C3??1???)+C3??+C3??1???)2[1?(1???)2]

=3??2(1???)+??3+3??(1???)2[1?(1???)2] =?3??5+12??4?17??3+9??2.

（2）设每篇学位论文的评审费为??元，则??的可能取值为900，1500.

1(1(??(??=1500)=C3??1???)2， ??(??=900)=1?C3??1???)2， 1(1(所以??(??)=900×[1?C3??1???)2]+1500×C3??1???)2

=900+1800??(1???)2. 令??(??)=??(1???)2,??∈(0,1),

??′(??)=(1???)2?2??(1???)=(3???1)(???1). 当??∈(0,3)时，??′(??)>0，??(??)在(0,3)上单调递增； 当??∈(,1)时，??′(??)<0，??(??)在(,1)上单调递减,

3

3

1

1

1

1

所以??(??)的最大值为??(3)=27.

所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×综上，若以此方案实施，不会超过预算.

【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数??(??)=??e?????2+3，其中??∈??．

（1）当??(??)为偶函数时，求函数?(??)=????(??)的极值；

（2）若函数??(??)在区间[?2?,?4]上有两个零点，求??的取值范围． 【答案】（1）极小值?(?1)=?2，极大值?(1)=2；（2）?2e

13e

4或??=3.

14

4

27

)×10?4=800（万元）.

6

e

?? (?∞,?1) ?1 (?1,1) 1 (1,+∞)