抛物线的有关结论

探索与研究

|GF|?mn.

圆锥曲线中抛物线的有关结论

山东省德州市实验中学 肖成荣

③S?AOB由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点F(p2? 2sin?二、点D(p,0)处的结论

p,0)处的结论 2pp,0)，|AF|?x1?；

22例：抛物线y2?2px上的点到A(a,0)的最近距离是多少？

结论：D(p,0)是抛物线y2?2px上到点A(a,0)的距离最近的点为顶点的分界点，

A(a,0)在D(p,0)左边顶点到点A(a,0)的距离最近，右边横坐标为a?p的那两个抛物

1、焦半径长：A(x1,y1)，F(2、焦点弦长：A(x1,y1)、且AB过焦点F，则|AB|?x1?x2?p，B(x2,y2)在抛物线上，

或|AB|?2p（?为直线l与抛物线对称轴的夹角）； 2sin?3、过焦点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为M、N，MN的中点为G。

（1）两相切：①以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；②以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（2）三直角：①?AGB?90 0线上的点到点A(a,0)的距离最近. 三、点E(2p,0)处的结论

A,B是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，OA?OB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

y ⅰ.x1x2?4p2，y1y2??4p2；ⅱ.直线AB过定点(2p,0)；ⅲ.求AB中点的轨迹方程；

②?MFN?900③GF?AB （3）六定值：①焦点弦两端点 ⅳ.过O向AB引垂线，求垂足T的轨迹方程；ⅴ.求?AOB面积的最小值.

M R A A(x1,y1)、B(x2,y2)的对应坐标 结论：A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，O为抛物线的顶点，（1）?AOB?900?直线AB过点E(2p,0).（2）x1x2?4p2，y1y2??4p2.

p 2p E 四、准线上的有关结论 x p2,y1y2??p2， 的乘积是定值：x1x2?43OA?OB??p2；

4G O S F B D 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点A,B，再以A,B为切点作抛物线的切

线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。反过来， 准线上任意一点做抛

②AF?m,BF?n，则112??， mnpN 物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。

1

下面对上面的结论做出证明。

一、焦点F(p2,0)处的结论

1、

焦半径长：A(xp1,y1)，F(2,0)，|AF|?xp1?2.

证明：根据抛物线的定义, |AF|?AM?xp1?2.

2、

焦点弦长：A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB过焦点F，则

|AB|?x2p1?x2?p，或|AB|?sin2?（?为直线l与抛物线对称轴的夹角）.证明：根据焦半径公式，|AF|?xpp1?2，|BF|?x2?2.

?AB?AF?BF?(xpp1?2)?(x2?2)?x1?x2?p.

根据抛物线的定义，|AF|?AM?p?AFcos? ,可得|AF|?p1?cos?.

|BF|?BN?p?BFcos?,得|BF|?p1?cos?. |AB|?AF?BF?pp2p2p1?cos??1?cos??1?cos2??sin2?. （或采用代数法通过联立方程组求出，如下

a) 直线AB斜率不存在时，经检验符合结论.

b) 直线AB斜率存在时，方程为y?tan?(x?p2)，由

???y?tan?(x?p2) 消去y得tan2?x2?p(tan2??2)x?tan2?p2?0 ??y2?2px4得xp(tan2??2)p21?x2?tan2?,x1x2?4.

?AB?xp(tan2??2)12p1?x2?p?tan2??p?2p(1?tan2?)?sin2?）.

3、过焦点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为M、

N，MN的中点为G

（1）两相切：①以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；

证明：焦半径AF的中点到y轴的距离为(利用梯形中位线等于两底和的一半)

d?12(OF?AA?)?1pAMAF2(2?AA?)?2?2(A?为AM与y轴的交点)，这就证明了

圆心到y轴的距离等于直径AF的一半，所以以焦半径AF为直径的圆与y轴相切. ②以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

证明：焦点弦AB的中点到抛物线的准线的距离为(利用梯形中位线等于两底和的一

半)d?12(AM?BN)?1AB2(AF?BF)?2 这就证明了圆心到准线的距离等于直

径AB的一半，所以以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（2）三直角：①?AGB?900②?MFN?900③GF?AB

证明：①根据以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，设切点为G， 则G为MN的中点，?AGB?900.

②?AM//FC//BN(C为准线与对称轴的交点) ??AMF??MFC(内错角). 又AM?AF??AMF??AFM,??AFM??MFC. 同理?BFN??NFC,得?MFN?900.

③在?AMG与?AFG中，AM?AF,AG?AG,FG?GM.

??AMG与?AFG全等，?AFG??AMF?900.

（3）六定值：①焦点弦两端点A(x1,y1)、B(x2,y2)的对应坐标的乘积是定值：

?p2x31x24,y1y2??p2，OA?OB??4p2.

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