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所以|AB|?|?1??2|?3?[选修4-5：不等式选讲]

210． 523．已知关于x的不等式|x?2|?|x?3|…|m?1|有解，记实数m的最大值为M． （1）求M的值；

（2）正数a，b，c满足a?2b?c?M，求证：

11?…1． a?bb?c【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x?2|?|x?3|厔|x?2?(x?3)|?5， 若不等式|x?2|?|x?3|…|m?1|有解， 则满足|m?1|?5，解得?6剟m4．

?M?4．

1（2）由（1）知正数a，b，c满足足a?2b?c?4，即[(a?b)?(b?c)]?1

4?

111111b?ca?b1b?ca?b1??[(a?b)?(b?c)](?)?(1?1??)厖(2?2g)?4?1a?bb?c4a?bb?c4a?bb?c4a?bb?c4， 当且仅当

?

b?ca?b即a?b?b?c?2，即a?c，a?b?2时，取等号． ?a?bb?c11?…1成立． a?bb?c

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