2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)

合计 20 （2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据： P(K2…k) 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 k 27.879 10.828 n(ad?bc)2，其中n?a?b?c?d K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)【解答】解：（1）由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株； “吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株， 填写列联表如下：

植株存活 植株死亡 合计 吸收足量 12 3 15 吸收不足量 1 4 5 合计 13 7 20 ?????????????????????????????????????4分

20(12?4?3?1)2计算K??5.934?6.635，

13?7?15?52所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；

???8分

（2）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株， 设事件A：抽取的3株中恰有1株存活，

记存活的植株为a，死亡的植株分别为b1，b2，b3，b4；

则选取的3株有以下情况：{a，b1，b2}，{a，b1，b3}，{a，b1，b4}，{a，b2，b3}，

{a，b2，b4}，{a，b3，b4}，{b1，b2，b3}，{b1，b2，b4}，{b1，b3，b4}，{b2，b3，b4}

共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种； 所以P(A)?63?．????????????12分 10520．（12分）已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x??2的距离小1．

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（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求?FPQ面积的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x??1的距离， 根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线． ?（2分）

Qp?2，?点M的轨迹C的方程：y2?4x．?（3分）

证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则点P的坐标为(y?y2x1?x2，1)．

22由题意可设直线l1的方程为y?k(x?1)，(k?0)， ?y2?4x由?，得k2x2?(2k2?4)x?k2?0． ?y?k(x?1)△?(2k2?4)2?4k4?16k2?16?0．?（5分）

Q直线l1与曲线C于A，B两点，

?x1?x2?2?44，． y?y?k(x?x?2)?1212k2k?点P的坐标为(1?22，)．?（6分） 2kk1由题知，直线l2的斜率为?，同理可得点Q的坐标为(1?2k2，?2k)．?（7分）

k当k??1时，有1?2?1?2k2， 2k此时直线PQ的斜率kPQ2?2kkk．?（8分） ??221?k1?2?1?2k2kk(x?1?2k2)， 21?k?直线PQ的方程为y?2k?整理得yk2?(x?3)k?y?0． 于是，直线PQ恒过定点E(3,0)，

当k??1时，直线PQ的方程为x?3，也过点E(3,0)．

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综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)． ?（10分） 解：（Ⅲ）由题意得|EF|?2，

12??FPQ的面积S??|EF|?(?2|k|)…4．

2|k|当且仅当k??1时，“?”成立，

??FPQ面积的最小值为4．?（12分）

21．（12分）设函数f(x)?x?ax． lnx（1）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若存在x1，x2?[e，e2]，使f(x1)?f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得f(x)的定义域为(0，1)?(1，??)，

Qf(x)在(1,??)上为减函数，

?f?(x)??a??a?lnx?1?0在(1,??)上恒成立， (lnx)2111121??(?)?， (lnx)2lnxlnx241121?)?， lnx24令g(x)?(故当

11?，即x?e2时， lnx2111g(x)的最小值为?，??a??，即a…

444?a的最小值为

1． 4（Ⅱ）命题“若存在x1，x2?[e，e2]，使f(x1)?f?(x2)?a成立”， 等价于“当x?[e，e2]时，有f(x)min?f?(x)max?a”， 由（Ⅰ）知，当x?[e，e2]时，lnx?[1，2]，f?(x)??a?lnx?11121??(?)??a， (lnx)2lnx241， 41”， 411?[，1]， lnx2f?(x)max?a?问题等价于：“当x?[e，e2]时，有f(x)min?①当?a??则f(x)min

11，即a…时，由（Ⅰ），f(x)在[e，e2]上为减函数，

4422e21?f(e)??ae??，

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??a?11， ?24e211?a…?2．

24e111②当???a?0，即0?a?时，Qx?[e，e2]，?lnx?[，1]，

424lnx?12e]上为增函数， ，由复合函数的单调性知在，Qf?(x)??a?f?(x)[e(lnx)2?存在唯一x0?(e,e2)，使f?(x0)?0且满足：

f(x)min?f(x0)??ax0?x0， lnx0要使f(x)min?111111，??a??????，

4x0lnx042441与???a?0矛盾，

41????a?0不合题意．

411综上，实数a的取值范围为[?2，??)．

24e（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

?x?1?cos?(?为参数）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1:?，曲线

y?sin??x2C2:?y2?1．

2（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）射线???6(?…0)与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．

?x?1?cos?(?为参数）可化为普通方程：(x?1)2?y2?1， 【解答】解：（Ⅰ）曲线C1:??y?sin??x??cos?由?可得曲线C1的极坐标方程为??2cos?，曲线C2的极坐标方程为

y??sin???2(1?sin2?)?2．

（Ⅱ）射线??射线???6(?…0)与曲线C1的交点A的极径为?1?2cos?6?3，

?6(?…0)与曲线C2的交点B的极径满足?22(1?sin2第20页（共21页）

?6)?2，解得?2?210， 5