2018年开封中考数学一模试卷（含解析）

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23．（11分）如图1，抛物线y=ax+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，

矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵矩形OBDC的边CD=1， ∴OB=1， ∵AB=4， ∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；

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（2）在y=﹣x﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

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∴直线OE解析式为y=﹣x，

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由题意可得P（m，﹣m﹣m+2），

∵PG∥y轴， ∴G（m，﹣m）， ∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+∵直线OE解析式为y=﹣x， ∴∠PGH=∠COE=45°， ∴l=

PG=

[﹣（m+）2+

]=﹣

2

（m+）+

，

，

∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为

；

（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM， 在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS）， ∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3，

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又y=﹣x﹣x+2，

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∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4， 当x=2时，y=﹣

，当x=﹣4时，y=﹣

）或（﹣4，﹣

， ）；

∴M点坐标为（2，﹣

②当AC为对角线时，设AC的中点为K， ∵A（﹣3，0），C（0，2）， ∴K（﹣，1）， ∵点N在对称轴上， ∴点N的横坐标为﹣1， 设M点横坐标为x，

∴根据中点坐标公式：x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2， ∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣

）或（﹣4，﹣

）或（﹣2，2）．

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