2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第5节垂直关系教案(文)(含解析)北师大版

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故三棱锥P－ABC的体积为×a×a＝a＝，

3422424解得a＝1，则PM＝

3133，故S△PAB＝×1×＝， 3236

33

＝. 62

所以三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3×答案

3

2

规律方法 (1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量．

(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系．如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM与AB，CM与AB垂直．

【训练4】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( ) A．8 C．82

B．62 D．83

解析 连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）－2＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝82. 答案 C

(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB＝2，若平面A1BD和平面ABCD所成的二面角为45°，则A1A＝________．

解析 如图所示，连接AC，交BD于O，则AO⊥BD，连接A1O，由于A1B＝A1D，所以A1O⊥BD，则∠A1OA即为二面角的平面角，即∠A1OA＝45°，所以A1A＝AO＝

2

AB＝2. 2

2

2

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答案 2

[思维升华]

1.证明线面垂直的方法：

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； (2)判定定理1：

?m，n?α，m∩n＝A?

l⊥m，l⊥n??l⊥α； ??

(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l?a⊥β； 2.证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：aα，a⊥β?α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化

[易错防范]

1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.

3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.

4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.

直观想象——立体几何中的动态问题

1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．

2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等． 3．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．

【例1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1Dπ

内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹

3是( )

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A．圆的一部分 C．抛物线的一部分

B．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分

解析 把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最π

小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，

3点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)， 所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B.

答案 B

【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图像是( )

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解析 过M作MN⊥AB，交AB于N，则MN⊥平面ABCD，过N作NQ∥AD，交CD于Q，过Q作

QH∥PD，交PC于H，连接MH，

则平面MNQH是所作的平面α， 2－xMN由题意得＝，

24解得MN＝4－2x，由＝.

2－xQH即＝，解得QH＝5(2－x)，

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过H作HE⊥NQ，在Rt△HEQ中，EQ＝HQ－HE＝2－x，

2

2

CQQHCDPD

∴NE＝2－(2－x)＝x，∴MH＝x. （x＋2）（4－2x）

∴y＝f(x)＝

2＝－x＋4(0

∴函数y＝f(x)的图像如图．故选C. 答案 C

基础巩固题组

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