高二数学文同步测试(3)（选修1-1第二章）第二章直线与圆锥曲线的位置关系

普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版]（选修1-1、1-2）

高中学生学科素质训练 新课标高二数学文同步测试（3） （1-1第二章直线与圆锥曲线的位置关系）

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每

小题5分，共50分）。 1．x=1?3y2表示的曲线是 A．双曲线

B．椭圆

（ ）

C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分

22xy2．设双曲线?=1（0＜a＜b＝的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原 22ab 点到直线l的距离为3c，则双曲线的离心率为

4 A．2

B．3

C．2

D．23

3（ ）

3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标 为1，则椭圆方程为

2

22

22（ ）

22 A．2x+2y=1

2575222B．2x+2y=1

7525C．x+y=1

2575D．x+x=1

7525y24．过双曲线x??1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜AB｜＝4，则这样

2 的直线l有 （ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

225．过椭圆x+y=1（0

a2b2 △ABF2的最大面积是 A．ab B．ac

C．bc

D．b2

（ ）

226．椭圆x?y?1与连结A(1，2)，B(2，3)的线段没有公共点，则正数a的取值范围是（ ）

a2a22 A．(0,6)∪ (17,∞) C．[6，17]

B．(17,∞) D．（6，17）

7．以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为

F1，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率e为 （ ） A．2

2B．3

2C．2－3 D．3－１

8．已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2平分线的 垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 （ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

9．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2??1, 那么m的

2 值等于 A．5

2

B．3

2

C．2

D．3

（ ）

10．对于抛物线C: y2=4x, 我们称满足y02<4x0的点M(x0, y0)在抛物线的内部, 若点M(x0, y0)

在抛物线的内部, 则直线l: y0y=2(x+ x0)与C （ ） A．恰有一个公共点 B．恰有二个公共点 C．有一个公共点也可能有二个公共点 D．没有公共点

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。

11．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积

是 ．

x22

12．设P为双曲线 ?y＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．

4213．定长为l (l>2b)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为

a14．如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y?x2?2x?3没有交点，那么实数a的取值范围是_____________。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。 15．（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等

差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N。 （1）求点N的坐标（用x0表示）；

（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点,若|MN|=42，求△MPQ的面积。

223xy16．（12分）已知双曲线?的离心率e?23，过A(a,0),B(0,?b)的直线到原点的距离是. ?123a2b2（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

17．（12分）已知抛物线y?x的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的

最大值，并求此直线AB所在的直线的方程。

2

18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标

轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（1）求这三条曲线的方程；

（2）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由。

19．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：x?8y =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

22ab22（1）若椭圆C上的点A（1，3）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； 2（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN

22xy的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线?2?1写出具2ab有类似特性的性质，并加以证明。

20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，

OA?OB与a?(3,?1)共线。

（1）求椭圆的离心率；

????????????????（2）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明?2??2为定值。

参考答案

一、1．D；解析：x=1?3y2化为x2＋3y2＝1（x＞0）．

ab3，又c2=a2+b2，2．A；解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为3c，则有?c2244a?b∴4ab=3c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e4－16e2+16=0，∴e2=4或e2=4.

3222而0＜a＜b，得e2?a?b?1?b＞2，∴e2=4.故e=2。评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、

22aa推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.

3．C；4．C；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D 二、

11．16；解析：原方程可化为x＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝3。当等腰直角三角形，设交点（x，y）

425（y＞0）可得2－x＝y，

代入曲线方程得：y＝4∴S＝132y2＝16。

252512．x2－4y2＝1；解析：设P（x0，y0）∴M（x，y），∴x?x0,y?y0∴2x＝x0，2y＝y0

22∴4x－4y2＝1?x2－4y2＝1。

413．

22a(l?2a)2a2?b2； 14．???,?13?；

???4?三、

15．（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0。

y?y2x?x2得线段AB垂直平分线方程：y?1??1(x?x0),

2y1?y2令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)。

（2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=42, 得x0=2。

由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)。

?y?x?6,直线PQ: y=x－6, 由?2得P(18,12),Q(2,?4),得△MPQ的面积是64。

y?8x.?ababd???c23xy16．解：∵（1）22?,原点到直线AB：??1的距离ca?baba3?b?1,a?3.2 故所求双曲线方程为 x?y2?1.

3.2。

3（2）把y?kx?5代入x2?3y2?3中消去y，整理得 (1?3k2)x2?30kx?78?0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

x?x215k5x0?1??y0?kx0?5?,2221?3k1?3k y?11kBE?0??.x0k?x0?ky0?k?0, 15k5k即??k?0,又k?0,?k2?7 221?3k1?3k故所求k=±7.

说明：为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

17．解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点N(1,y0)