高考数学二轮复习专题二平面向量与复数

→→→

解析：由OP＝λOA＋μOB，且λ＋2μ＝2， λ→→→→→?1－?OB? 则OA·OP＝OA·?λOA＋??2??λ→→→

1－?OA·OB， ＝λOA2＋??2?

→→

又|OB|＝2，|AB|＝1，∠AOB＝45°， →

所以由余弦定理求得|OA|＝1，

λλ2→→

1－?×1×2×＝1＋， 所以OA·OP＝λ＋??2?22→

|OP|＝＝ ＝

λ→→??λOA1－?OB? ＋??2??→

λ2|OA|2＋2λ

λ→→→??1－λ?OA1－?|OB|2 ·OB＋?2??2?

22

λ2

2

＋2，

λ

1＋→→2OA·OP→→

故OA在OP上的投影＝

→λ2|OP|＋2

2＝

2λ＋2

·2 (*)． 2λ＋4

（λ＋2）2

λ2＋4

421＋∈?－，0?；

4?2?λ＋λ（λ＋2）2

；

λ2＋4

2

当λ＜－2时，(*)式＝－·2＝－

22

4λ21＋2＝－2λ＋4

2

当λ≥－2时，(*)式可化为2①λ＝0，上式＝

2； 2

22

1＋

②－2≤λ＜0，上式＝

2

∈?0，?； 4?2?λ＋λ

4③λ＞0，上式＝

22

421＋∈?，1?.

4?2?λ＋λ

2→→

综上，OA在OP上的投影的取值范围是?－，1?.

?2?答案：?－?

2?

，1 2?

- 17 -

1r→→→→→

17．已知OA，OB是非零不共线的向量，设OC＝·OA＋OB，定义点集P＝

r＋1r＋1→→→→??KB??·KCKA·KC→→

?K?→＝→，KC≠0?，当K1，K2∈P时，若对于任意的r≥3，不等式|K→1K2|≤c|AB|

??|KA|??|KB|

恒成立，则实数c的最小值为________．

1r→→→

解析：由OC＝·OA＋OB，可得A，B，C三点共线，

r＋1r＋1→→→→

KB·KCKA·KC→→由＝，可得|KC|cos∠AKC＝|KC|cos∠BKC，

→→|KB||KA|即有∠AKC＝∠BKC，则KC为∠AKB的角平分线． 由角平分线的性质定理可知

|KA||AC|

＝＝r， |KB||BC|

以AB所在的直线为x轴，以线段AB上某一点为原点建立直角坐标系，设点K(x，y)，A(－a，0)，B(b，0)，

（x＋a）2＋y22所以＝r，

（x－b）2＋y2

化简得(1－r2)x2＋(1－r2)y2＋(2a＋2br2)x＋(a2－b2r2)＝0.

由方程知K的轨迹是圆心在AB上的圆，当|K1K2|为直径时最大，方便计算，令K1K2与AB共线，如图，

由|K1A|＝r|K1B|，可得|K1B|＝由|K2A|＝r|K2B|，可得|K2B|＝可得|K1K2|＝

|AB|

， r＋1|AB|

， r－1

|AB||AB|2r2

＋＝2|AB|＝|AB|，

1r＋1r－1r－1

r－r

118

而易知r－≥3－＝，

r333|K1K2|3

即有|K1K2|≤|AB|，即≤，

4|AB|4|K1K2|?3

即c≥?＝?|AB|?max4， 3故c的最小值为. 4

- 18 -

3答案： 4

18．在△ABC中，已知C＝(1)求角A的值；

→→

(2)若BC＝2BD，AD＝7，求△ABC的面积．

π

解：(1)因为p⊥q，所以p·q＝0?p·q＝2sin A＋2cos B＝0，又C＝，

6所以sin A＋cos B＝sin A＋cos?化简得tan A＝5π

－A?＝0， ?6?

π

，向量p＝(sin A，2)，q＝(2，cos B)，且p⊥q. 6

π3

，A∈(0，π)，所以A＝. 36

→→

(2)因为BC＝2BD，所以D为BC边的中点， →→

设|BD|＝x，|BC|＝2x，

π2π→

由(1)知A＝C＝，所以|BA|＝2x，B＝，

63在△ABD中，由余弦定理，得

2π→→→→→

|AD|2＝|BA|2＋|BD|2－2|BA|·|BD|·cos

32π

＝(2x)2＋x2－2·2x·x·cos＝7，

3所以x＝1，所以AB＝BC＝2，

2π11

所以S△ABC＝BA·BC·sin B＝×2×2×sin＝3.

223

19．已知m＝(2sin x，sin x－cos x)，n＝(3cos x，sin x＋cos x)，记函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合；

(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝2，c＝3，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由题意，得f(x)＝m·n＝23sin xcos x＋sin2x－cos2x＝3sin 2x－(cos2 x－sin2 x)＝3π

sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?，所以f(x)max＝2；

6??

ππππ

当f(x)取最大值时，即sin?2x－?＝1，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋6236??

??π

(k∈Z)，所以x的取值集合为?x?x＝kπ＋，k∈Z?.

3???

π

(2)由f(C)＝2，得sin?2C－?＝1，又0＜C＜π，

6??

- 19 -

ππ11π即－＜2C－＜，

666πππ所以2C－＝，解得C＝，

623

在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，

1

得3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，当且仅当a＝b＝3时，取等号，所以S△ABC＝absin C

＝

34ab≤334

， 所以△ABC面积的最大值为33

4

.

2- 20 -