高考数学二轮复习专题二平面向量与复数

→1→→

足bnPnA＋an＋1PnB＋(3an＋2)PnC＝0，求a4.

2

解：在线段BC上取点D，使得BD＝2CD，则Pn在线段AD上， →1→→

因为bnPnA＋an＋1PnB＋(3an＋2)PnC＝0，

2

1→→→→→→→所以－an＋1BPn＝bnAPn＋(3an＋2)CPn＝bn(BPn－BA)＋(3an＋2)(BPn－BC)，

21→→3→－an＋1－bn－3an－2?BPn＝－bnBA－×(3an＋2)BD. 所以??2?2

13

因为A，Pn，D三点共线，所以－an＋1－bn－3an－2＝－bn－(3an＋2)，即an＋1＝3an＋2，

22所以a2＝3a1＋2＝8，a3＝3a2＋2＝26，a4＝3a3＋2＝80.

复 数 [核心提炼]

1．复数的除法

复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 1＋i1－i

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

1－i1＋i(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i. (4)i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0.

[典型例题]

1＋z

(1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z满足＝i，则|z|＝( )

1－zA．1 B．2 (2)设有下面四个命题

1

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；

- 9 -

＋

＋

＋

＋

＋

＋

C．3 D．2

p4：若复数z∈R，则z∈R. 其中的真命题为( )

A．p1，p3 B．p1，p4

C．p2，p3 D．p2，p4

(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z＝1＋i，其中i为虚数单位，则复数1＋z＋z2＋…＋z2 017的实部为( )

A．1 B．－1 1＋z【解析】 (1)因为复数z满足＝i，

1－z

i－1

所以1＋z＝i－zi，所以z(1＋i)＝i－1，所以z＝＝i，

i＋1所以|z|＝1，故选A.

a－bi11

(2)对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝22∈R，得b＝0，则z∈R成立，

za＋bia＋b故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B.

(3)因为z＝1＋i， 所以

1＋z＋z2＋…＋z2 017＝

1×（1－z2 018）z2 018－1

＝

1－zz－1

C．21 009 D．－21 009

（1＋i）2 018－1（2i）1 009－1（－1＋21 009i）（－i）1 009

＝＝＝＝2＋i.

i1＋i－1－i2所以复数1＋z＋z2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C. 【答案】 (1)A (2)B (3)C

复数问题的解题思路

(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．

(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．

[对点训练]

1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z满足(1＋i)z＝|3＋i|，则在复平面内，z对应的点位于( )

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

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（3）2＋122（1－i）

解析：选A.由题意，得z＝＝＝1－i，所以z＝1＋i，其在

1＋i（1＋i）（1－i）复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.

2．(2019·金丽衢十二校联考)设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是( ) A．1 B．2 解析：选C.因为|z－i|≤2，

所以复数z在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．

所以|z|的最大值为3.故选C. 3．(2019·高考浙江卷)复数z＝解析：通解：z＝

1

(i为虚数单位)，则|z|＝________． 1＋i

C．3 D．4

1－i1i1＝＝－，

2221＋i

所以|z|＝

22

?1?＋?－1?＝2. ?2??2?2

1?112?优解：|z|＝1＋i＝＝22＝.

2??|1＋i|1＋1答案：

2

2

专题强化训练

1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数z等于( ) A．1＋i C．－1＋i

B．1－i D．－1－i

2i（1－i）2i解析：选B.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，

1＋i（1＋i）（1－i）则z的共轭复数z＝1－i.故选B.

→→→

2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44

3→1→

B.AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24

→→→→

解析：选B.因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，

1→→1→3→1→→1→→1→→→

所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.

222242z

3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝

i( )

- 11 -

25A.

355C.

3

B.2 D.5

解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(22－i??－i（2－i）?z＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝?＝?＝|－1－2i|＝|1＋2i|i?i??i?－i·?＝12＋22＝5.故选D.

→→

4.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则DE·BF＝( )

5A．－

2C．－4

3B．

2D．－2

解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐→→→→

标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以DE＝(2，－1)，BF＝(－1，2)，所以DE·BF＝－4.

5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存→→→

在非零实数x、y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为( )

2A. 3C.2 3

B.3 3

1D. 3

→→→→

解析：选A.设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.因为AO＝xAB＋yAC，所以AO＝→→

xAB＋2yAD.又因为x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则32＋42－322

AB＝BC＝3.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝.故选A.

2×3×43

π→→→

6．在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠A＝，如果不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则实

2数t的取值范围是( )

A．[1，＋∞)

1

－∞，?∪[1，＋∞) C．?2??

1?

B．??2，1?

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

3→→→

，由|BA－tBC|≥|AC|，得2

解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝

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