高考数学二轮复习专题二平面向量与复数

(1)平面向量数量积的计算

①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 (ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．

②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．

(2)求解向量数量积最值问题的两种思路

①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．

②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．

[对点训练]

1

1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，若向量c满足|a

2－b＋c|≤1，则|c|的最大值为( )

A．1 C．3

B．2 D．2

1

解析：选D.由平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，

21

可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝，

2π

由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝，

313

设a＝(1，0)，b＝?，?，c＝(x，y)，

?22?13

则|a－b＋c|≤1，即有??＋x，y－??≤1，

2????213

x＋?＋?y－?≤1， 即为??2??2?

13

故|a－b＋c|≤1的几何意义是在以?－，?为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|

?22?的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.

2．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于→→→→→→

点O.记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )

2

2

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A．I1＜I2＜I3 C．I3 ＜ I1＜I2

B．I1＜I3＜I2 D．I2＜I1＜I3

解析：选C.如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO

∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA→→→→→

－OC)＝OB·CA＝|OB|·|CA|·cos∠AOB<0，所以I1I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB

→→→→→→→→

所以|OA|·|OB|<|OC|·|OD|，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，所以OA·OB>OC·OD，即I1>I3.所以I3

3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________．

解析：非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，

1114可得a ·b＝(a2＋4b2)＝(|a|2＋4|b|2)≥·2|a|2·4|b|2＝|a|·|b|，

5555a·b4|a|·|b|4

即有cos〈a，b〉＝≥·＝，

|a|·|b|5|a|·|b|54

当且仅当|a|＝2|b|，取得最小值.

54答案：

5

平面向量与其他知识的交汇

[核心提炼]

平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．

[典型例题]

→→

(1)如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，BD＝3DC，En(n∈N*)为边AC上的

→1→→

列点，满足EnA＝an＋1·EnB－(3an＋2)EnD，其中实数列{an}中，an＞0，a1＝1，则数列{an}的

4通项公式为an＝( )

A．3·2n1－2

－

B．2n－1

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C．3n－1 D．2·3n1－1

－

(2)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.

①求B的大小；

②若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c.

→→→→→→4→→4→→

【解】 (1)选D.因为BD＝3DC，所以EnC＝EnB＋BC＝EnB＋BD＝EnB＋(BEn＋EnD)＝

331→4→11→4→→→1→→

－EnB＋EnD.设mEnC＝EnA，则由EnA＝an＋1EnB－(3an＋2)EnD，得(an＋1＋m)EnB－(m＋334433→

3an＋2)EnD＝0，

114

则－m＝an＋1，m＝－(3an＋2)，

343

11

所以an＋1＝(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2

44为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n1，所以an＝2·3n1－1.

(2)①因为p⊥q，

所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)·(1＋sin B)＝0，即3sin2B－cos2B－2＝0，

3

即sin2B＝，又角B是锐角三角形ABC的内角，

4所以sin B＝

3

，所以B＝60°. 2

－

－

②由①得B＝60°，又△ABC的面积为3， 1

所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①

2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 又b＝2，所以a2＋c2＝8，② 联立①②，解得a＝c＝2.

平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．

(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．

[对点训练]

1．(2019·杭州市高三二模)△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中点，E，

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→→

F分别是边BC、AC上的动点，且EF＝1，则DE·DF的最小值等于( )

A.5 4

15B. 4D.

17 4

17C. 4

解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：

3?

则A(0，4)，B(3，0)，C(0，0)，D??2，2?. 设E(x，0)，则F(0，1－x2)，0≤x≤1. 3→

x－，－2?， 所以DE＝??2?3→

－，1－x2－2?. DF＝??2?

253x→→93

所以DE·DF＝－x＋4－21－x2＝－－21－x2.

4242253x

令f(x)＝－－21－x2，

4232x

当x≠1时，则f′(x)＝－＋ .

21－x23

令f′(x)＝0得x＝.

5

33

当0≤x＜时，f′(x)＜0，当＜x＜1时，f′(x)＞0.

553?153

所以当x＝时，f(x)取得最小值f??5?＝4. 52531915

当x＝1时，f(1)＝－＝＞，故选B.

4244

2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝3，则|a|＋|b|的取值范围是( )

A．[3，5] C．[3，4]

B．[4，5] D．[4，7]

解析：选B.|a|＋|b|≥max{|a＋b|，|a－b |}＝4， (|a|＋|b|)2≤|a＋b|2＋|a－b|2＝25，所以|a|＋|b|≤5.

3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{an}中，a1＝2，点列Pn(n＝1，2，…)在△ABC内部，且△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1.若对n∈N*都存在数列{bn}满

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