北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

（Ⅱ）当a=1时，求函数f(x)在区间[?1,2]上的最大值与最小值； （Ⅲ）当x?2时，不等式f(x)?2?a恒成立，求实数a的取值范围． 20．（本小题共13分）

如果定义在R上的函数f(x)，对任意的x?R，都有f(?x)??f(x)， 则称该函数是“?函数”. (Ⅰ) 分别判断下列函数：①y?2；②y?2x?1； ③y?x?2x?3,是否为“?函数”？

(直接写出结论)

(Ⅱ) 若函数f(x)?sinx?cosx?a是“?函数”，求实数a的取值范围；

x2?x2+1,x?A(Ⅲ) 已知f(x)?? 是“?函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B x?B?x,

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市密云区2019-2020学年学期期末考试

高一上数学试题参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9． 1 10．12．

?4 11．f(x)?sin(2x?)

653 13．b

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共14分）

1?1tan??tan?34=解：（I）tan(?+)= = 2 ……………………6分 1?41?1?tan?tan34?（II）因为tan??1sin?=，所以cos??3sin? ……………………9分 3cos?.

5sin?+cos?5sin??3sin? = …………………11分

4sin?-cos?4sin??3sin?

8sin?= sin?= 8 …………………14分

16.（本小题共13分） 解: （I）解：（I）

a与b共线 ??2x?4,x??2.……………………4分

（II）

a?b,?4x?2?0,?x?1……………………8分

2（III）

x?2,b?(2,1)，2b?a=（8，0）

?a?42?(?2)2?25,2b?a?82?0?8……………10分

? 又a?(2b?a)?32……………11分 ，

?cos??a?(2b?a)a?2b?a?3225?……………13分

5. 16517．（本小题共13分）

解：（I）f(x)?2cosx(sinx?cosx)?sin2x?cos2x?1?2sin(2x?)?1…6分

4?因此，函数f(x)的最小正周期T??． …………… 7分 (Ⅱ) 由2k???2?2x??4?2k???2得：k??3???x?k?? . ……… 9分 88 即函数f(x)的单调递增区间为[k??(III)因为 ?3??,k??](k?Z). …………… 10分 88?4?x??4

所以 ??4?2x??4?3? …………… 11分 4)= 0 …………… 12分

所以f(x)min =f(??4 f(x)max=f()= 2+1 …………… 13分

?8

18.(本小题共14分)

解：（I）因为f(x)??2sinx?cos2x

所以 f()??2sinπ4ππ?cos2???2 …………………3分 44πππ3f()??2sin?cos2??? …………………6分 6662因为 ?2??ππ3, 所以 f()?f() …………………8分

4622（Ⅱ）因为 f(x)??2sinx?(1?2sinx) …………………10分

?2sin2x?2sinx?1

13?2(sinx?)2?

22令 t?sinx,t?[?1,1]， 所以y?2(t?)2?因为对称轴t?123, …………………12分 21, 2根据二次函数性质知，当 t??1时，函数取得最大值3 …………………14分

19.（本小题共13分）

解：∵f(2)?0，∴2a?b?0，∴f(x)?a(x?2x) …………… 2分 （I）方程f(x)-x=0有唯一实数根，

即方程ax?(2a?1)x?0有唯一解， ………… 3分 ∴(2a?1)?0，解得a??∴f(x)??2221 …………… 4分 212x?x …………… 5分 2(II) ∵a?1

∴f(x)=x?2x ，x?[?1,2]

若f(x)max?f(?1)?3 …………… 7分 若f(x)min=f(1)=?1 …………… 9分

（Ⅲ）解法一、当x?2时，不等式f(x)?2?a恒成立，

即：a?22在区间[2,??)上恒成立， …………… 10分

(x?1)22， 2(x?1)设g(x)?显然函数g(x)在区间[2,??)上是减函数， …………… 11分

gmax(x)?g(2)?2 …………… 12分

当且仅当a?gmax(x)时，不等式f(x)?2?a在区间[2,??)上恒成立， 因此a?2 …………… 13分 解法二、因为 当x?2时，不等式f(x)?2?a恒成立

所以 x?2时，f(x)的最小值?2?a …………… 10分 当a?0时，f(x)?a(x?2x)在?2,???单调递减，f(x)?0恒成立

22 而2-a?0

所以a?0时不符合题意。 …………… 11分 当a?0时，f(x)?a(x?2x)在?2,???单调递增，

2f(x)的最小值为f(2)?0

所以 0?2?a，即a?2即可

综上所述，a?2 …………… 13分

20.（本小题共13分）

解:（Ⅰ）①、②是“β 函数”，③不是“β函数”. ……………………3分 （Ⅱ）由题意，对任意的x?R，f(?x)??f(x)，即f(?x)?f(x)?0. 因为f(x)?sinx?cosx?a， 所以f(?x)??sinx?cosx?a.