2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，sin απ

＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正cos α2切的诱导公式．

(对应学生用书第49页)

[基础知识填充]

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sinα＋cosα＝1； sin α(2)商数关系：tan α＝. cos α2．诱导公式

组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆规律 [知识拓展] 1.诱导公式的两个应用：(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．“1”代换sinα＋cosα＝1. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1.( ) sin α

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )

cos α

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )

π

(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的“奇、偶”是指

2

2

2

222

2

2

2

一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α 四 π－α sin α 五 π－α 2cos α 六 π＋α 2cos α －sin α 函数名改变 符号看象限 cos α －cos α sin α －tan α －tan α 函数名不变，符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 的奇数倍、偶数倍，“变与不变”指函数名称是否变化．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

5

2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )

13

512512A．－ B．－ C． D．

131313135

B [∵sin α＝，α是第二象限角，

13122∴cos α＝－1－sinα＝－.]

13

?17π?－sin?－17π?＝________. 3．cos?－???4?4???

?17π?－sin?－17π?＝cos17π＋sin17π＝cos?4π＋π?＋sin?4π＋π?

2 [cos?－???????4?4?4?4?44????

ππ22

＝cos ＋sin ＝＋＝2.]

4422

sin α－cos α

4．已知tan α＝2，则的值为________．

sin α＋cos α

1

[∵tan α＝2， 3

sin αcos α

－sin α－cos αcos αcos αtan α－11∴＝＝＝.] sin α＋cos αsin αcos αtan α＋13

＋

cos αcos α

?π?3?π?5．已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝________.

2??2?5?

4?π

－ [因为sin?＋α5?2

34?＝cos ?0，π?，所以sin 2

α＝，α∈α＝1－cosα＝，所???2?55??

4

以sin(π＋α)＝－sin α＝－.] 5

(对应学生用书第50页)

同角三角函数基本关系式的应用 15π3π (1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )

842A．－3

2

B．3 2

3C．－ 4

3D． 4

2

32

(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )

464A． 25C．1

5π3π

(1)B (2)A [(1)∵＜α＜，

42

∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.

132

又(cos α－sin α)＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，

84∴cos α－sin α＝

3. 2

2

48B． 2516D． 25

3cosα＋4sin αcos α1＋4tan α2

(2)∵tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝＝222

4sinα＋cosαtanα＋13

1＋4×

464

＝，故选A．] 2

25

?3?＋1?4???

[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法 sin α22利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可cos α以实现角α的弦切互化. 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 2222注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα. 5[跟踪训练] (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

13

【导学号：79140105】

12A． 55C． 12

12B．－ 55D．－ 12

224?π?(2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈?0，?，则sin θ－cos θ的值为( )

4?3?

3

A．2 3

B．－2 3

1C． 2

(1)D (2)B [(1)法一：因为α

1D．－ 2

为第四象限的角，故cos α＝1－sinα＝

2

?5?121－?－?＝， ?13?13

5－13sin α5

所以tan α＝＝＝－. cos α1212

13

5

法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，

13

2

y5

－5)，则tan α＝＝－.故选D．

x12

(2)因为(sin θ＋cos θ)＝sinθ＋cosθ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ167222

＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)＝sinθ＋cosθ－2sin θ·cos 992?π?θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈?0，?，所以sin θ＜cos θ，

4?9?即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－

2

.] 3

2

2

2

诱导公式的应用 (1)化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)·sin(－261°)的结果为( ) A．1 C．0

B．－1 D．2

sin(kπ＋α)cos(kπ＋α)

(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )

sin αcos αA．{1，－1,2，－2} C．{2，－2}

B．{－1,1}

D．{1，－1,0,2，－2}

(1)C (2)C [(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.

4