高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 64 word版含答案

考点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础小题

1．设随机变量X～N(1,5)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 答案 A

解析 x＝0与x＝a－2关于x＝1对称，则a－2＝2，a＝4.

2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是( )

A.

80555010 B. C. D. 9993

2

答案 C

225

解析 由题意，一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，

3395?50?则成功次数X～B?10，?，所以E(X)＝.故选C. 9?9?

3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400 答案 B

解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.

4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是( ) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 答案 B

解析 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )

A．2 B．1 C．3 D．4 答案 C

2

A1322

解析 ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝3＝，

A1535C2C13A312C2C13A31

P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝.

A1535A1535所以，ξ的分布列为：

12

3

21

3

3

ξ P 0 22 351 12 352 1 35221212于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，

35353552

故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.

5

6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：

投资甲获利(万元) 概率

投资乙获利(万元) 概率 那么，此人应该选择经营________种商品． 答案 甲

解析 设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X，Y，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E(Y)＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E(X)>E(Y)，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．

7．随机变量ξ服从正态分布N(40，σ)，若P(ξ<30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝________. 答案 0.6

解析 根据正态分布曲线的对称性，可得

2

2 0.4 3 0.3 －1 0.3 1 0.6 4 0.2 －2 0.2 P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.

8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功 192例 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 答案 4760元

解析 由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故

投资失败 8例 一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．

二、高考小题

9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布

N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

(附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ

A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 答案 C

解析 由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线，所以P(－1

0.3413

＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为1

2

10000×0.3413＝3413.故选C.

10．设X～N(μ1，σ1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )

2

2

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

答案 C

解析 由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2>μ1. ∴P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B错；

对任意正数t，由题中图象知P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确，D错．

11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．

(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)． 则( )

A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1

33139C3C3C32C31132

解析 取m＝3，n＝3，则p1＝×1＋×＝＝，p2＝2×1＋2×＋2×＝＋×662412C6C63C635531128

＋×＝＝， 53312

∴p1>p2.

2

11

2

ξ1的分布列为：

ξ1 P 113∴E(ξ1)＝1×＋2×＝；

222

1 1 22 1 2ξ2的分布列为：

ξ2 P 131∴E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝2，

555∴E(ξ1)

12．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1

4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5

解析 x＝＝5.1，

5

1 1 52 3 53 1 5