2019-2020年天津市红桥区九年级上册期末数学试题(有答案)

（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′， 在△CAE′和△BAF′中，

，

∴△CAE′≌△BAF′（SAS）， ∴CE′=BF′=6； ②由（1）可知AE=BC，

所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形， 所以，∠BAM=∠ABC=72°， 又∵∠BAC=36°， ∴α=∠CAM=36°；

②当点E的像E′与点N重合时， ∵CE′∥AB，

∴∠AMN=∠BAM=72°， ∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°， 综上所述，当旋转角α为36°或72°．

26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3） （1）求该二次函数的解析式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（+1）（﹣3）， 把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1， 所以抛物线解析式为y=（+1）（﹣3）， 即y=2﹣2﹣3；

（2）抛物线的对称轴为直线=1， 设E（t，t2﹣2t﹣3），

当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3）， ∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3）， 整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+

（舍去），t2=2﹣

（舍去）；

当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3）， ∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3）， 整理得t2﹣5=0，解得t1=此时正方形EFGH的边长为2

，t2=﹣﹣2；

（舍去），

当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3， ∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3， 整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+此时正方形EFGH的边长为2

，t2=2﹣

（舍去），

+2，

综上所述，正方形EFGH的边长为2（3）设P（，2﹣2﹣3）， 当﹣1＜＜0时， ∵S△ABC=×4×3=6， ∴0＜S△APC＜6，

﹣2或2+2；

当0＜＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3， 易得直线AC的解析式为y=﹣3，则M（，﹣3）， ∴PM=﹣3﹣（2﹣2﹣3）=﹣2+3， ∴S△APC=?3?（﹣2+3） =﹣

2

+

，

，即0＜S△APC＜

，

=﹣（﹣）2+

当=时，S△APC的面积的最大值为综上所述，0＜S△APC＜6，

∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．