高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念优化练习新人

专题课件 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ) A．－2 B.23 C．－23

D．2

解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2. 答案：D

2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直接法．

∵a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，

而ab＝0时有a＝0或b＝0，

∴由a＝0， b≠0?ab＝0，反之不成立．

∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．

答案：B 3．已知复数z＝1a－1

＋(a2

－1)i是实数，则实数a的值为( ) A．1或－1 B．1 C．－1

D．0或－1

解析：因为复数z＝12

??a2

－1＝0，a－1＋(a－1)i是实数，且a为实数，则?

??

a－1≠0，

答案：C

4．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则( ) A．a＝31

2，b＝2

B．a＝3，b＝1

)

解得a＝－1.

13C．a＝，b＝

22

D．a＝1，b＝3

??a－b＝1，解析：由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i可得?

?a＋b＝2，?

31

解得a＝，b＝. 22

答案：A

5．已知集合M＝{1，(m－3m－1)＋(m－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的为( ) A．4 C．4或－1

??m－3m－1＝3，

解析：由题意?2

??m－5m－6＝0，

2

2

2

B．－1 D．1或6

解得m＝－1. 答案：B

x2－x－62

6．已知＝(x－2x－3) i(x∈R)，则x＝________.

x＋1x2－x－6

解析：∵x∈R，∴∈R，

x＋1x－x－6??＝0，x＋1由复数相等的条件得：???x2－2x－3＝0，

答案：3

7．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________. 解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有?以x＋y＝1. 答案：1

8．设m∈R，m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________. 解析：复数m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数的充要条件是

??m＋m－2＝0，

?2

?m－1≠0，?

2

2

2

2

22

解得x＝3.

?x＋y＝－x－3，?

??x－2y＝y－19，

解得?

?x＝－4，???y＝5，

所

2

??m＝1或m＝－2，

解得?

?m≠±1，?

2

即m＝－2.

故m＝－2时，m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数． 答案：－2

9．设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i，当m为何值时， (1)z是实数；(2)z是纯虚数． 解析：(1)要使复数z为实数，需满足

2

2

??m－2m－2>0，?2

?m＋3m＋2＝0，?

2

解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．

2

??m－2m－2＝1，(2)要使复数z为纯虚数，需满足?2

?m＋3m＋2≠0，?

2

2

解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．

10．已知集合M＝{1，(m－2m)＋(m＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

解析：因为M∪P＝P，所以M?P，

即(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1，或(m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i. 由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1得

??m－2m＝－1，

?2

?m＋m－2＝0，?

22

2

2

2

2

2

2

2

解得m＝1；

由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i得

??m－2m＝0，?2

?m＋m－2＝4，?

2

解得m＝2.

综上可知m＝1或m＝2.

[B组 能力提升]

1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为( ) A．x＝3且y＝5 C．x＝2且y＝0 解析：易知z1＝2＋i

由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)

??x－1＝2∴?

?2x－y＝1?

B．x＝3且y＝0 D．x＝2且y＝5

2

解得x＝3且y＝5.

答案：A

2．复数z＝a－b＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| C．a>0且a≠b 解析：z为纯虚数 ∴a＋|a|≠0且a－b＝0 因此得a>0且a＝±b. 答案：D

3．已知关于x的方程x＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________． 解析：设x＝a为方程的一个实根

2

2

2

2

B．a<0且a＝－b D．a>0且a＝±b

则有a＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0. 因为a，m∈R，由复数相等的充要条件

2

2

??a＋a＋3m＝0，有???2a＋1＝0，

2

1

m＝，??12解得?1

a＝－??2.

1

答案：

12

4．已知z1＝－4a＋1＋(2a＋3a)i，z2＝2a＋(a＋a)i，其中a∈R，z1>z2, 则a的值为________． 2a＋3a＝0，??2

解析：由z1>z2，得?a＋a＝0，

??－4a＋1>2a，

2

2

2

??即?a＝0或a＝－1，

1a

a＝0或a＝－，

答案：0

3

2

2

解得a＝0.

5．已知复数z1＝m＋(4－m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．

解析：由z1＝z2，即m＋(4－m)i＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m∈R)

??m＝2cos θ，得?2

?4－m＝λ＋3sin θ，?

2

消去m得

3

8

916

λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－

由于－1≤sin θ≤1.

9?9?故－≤λ≤7，即λ的取值范围为?－，7?. 16?16?

?a 6．定义运算?

?c

＝x＋yi.

2

b?

?3x＋2y i?

?＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝??(x，y∈R)，求复数zd??－y 1?

b?d?

?a

解析：由定义运算?

?c ?3x＋2y ?

?－y

?＝ad－bc

i?

?＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 1?