2019届甘肃省天水市一中高三下学期第五次模拟考试数学（理）试题（解析版）

所以

AF3?． AB5

【考点】1、空间直线与平面平行的判定；2、空间直线与平面所成角；3、平面与平面垂直的性质；4、空间向量的应用．

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1??2,0?，点B2,2在椭圆C上，直线y?kx?k?0?与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N. （1）求椭圆C的方程；

（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

??x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）经过两定点P??1；1?2,0?，P2??2,0?.

84，0?，【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为F所以a2?b2?4．由点B2,1??2在椭圆C上，得

?2?42??1，进而解出a,b得到椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y?kx(k?0)a2b2x2y2与椭圆，设出AE，AF的方程，解??1联立，解得E,F的坐标（用k表示）

84出M,N的坐标，圆方程用k表示，最后可求得MN为直径的圆经过两定点.

x2y2试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab，0?，所以a2?b2?4． 因为椭圆的左焦点为F1??2因为点B2,?2在椭圆C上，所以

?42??1． a2b2由①②解得，a?22，b?2．

第 13 页 共 17 页

x2y2所以椭圆C的方程为??1．

84（Ⅱ）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为?22,0．

??x2y2因为直线y?kx(k?0)与椭圆??1交于两点E，F，

84设点E?x0,y0?（不妨设x0?0），则点F??x0,?y0?．

y?kx,联立方程组{x28所以x0?22?y?1422消去y得x?8．

1?2k21?2k2，则y0?22k1?2k2．

所以直线AE的方程为y?k1?1?2k2?x?22?．

22k因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N， 令x?0得y?22k1?1?2k2，即点M??0,???． 2??1?1?2k??22k0,同理可得点N??1?1?2k2?所以MN????． ?22k1?1?2k2?22k1?1?2k2?221?2k2k??．

?2?设MN的中点为P，则点P的坐标为P??0,?k??．

???21?2k2?2?2??则以MN为直径的圆的方程为x??y????k?k????2????， ???2即x2?y2?22y?4． k令y?0，得x2?4，即x?2或x??2．

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?，P2??2,0?． 【考点】1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义. 21．已知函数

.

第 14 页 共 17 页

（1）当（2）当

时，求证：若时，试讨论函数

，则；

的零点个数.

时，函数

有且仅有一个零点，当

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当时，函数

有两个零点．

【解析】试题分析：（1）函数求导

恒成立；

，再求导得恒成立，又因为

x

（2）由（1）可知，当x≤0时，f″(x)≤0，可得 对?x∈R，f′(x)≥0，即e≥x+1，分类讨

论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f(x)的零点个数即可得解；

当x＜-1时，再分0≤m≤1和m＜0两种情况进行讨论，由函数零点定理进行判断即可得到答案.

试题解析：，所以 (1)当当时，

时，时，

，即，所以当

，则，所以函数时，，所以当时，.所以，又时，函数，所以函数

时，

，且时，函数

在区间

上无

为增函数，又在区间

，令

在

，则上为增函数，即当

在

恒成立.

，所以函数，所以对

，

，所以当

时，

，

的减区间为，即

. ，，上，

恒成立，所以函数时，对，所以

为增函数，又因为(2)由（1）知，当

，增函数为①当即当 ②当所以函数

时，，所以当时，

上有且仅有一个零点，且为. ，所以

，

时，（ⅰ）当在

上递增，所以

，故

零点. (ⅱ)当

时，

在

，令上单调递增，

，又曲线

以当

时，

，使

，故当，所以函数

，则，当在区间

时，

上不间断，所

，

的减区间为

，

，所以函数

时，

第 15 页 共 17 页

增区间为，又时，

，所以对，又

，曲线

，又当

在

，综上，有个两零点.

区间当

上不间断.所以时，函数

，且唯一实数，使得

时，函数

有且仅有一个零点；当

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线

（为参数），曲线

交于、两点． （1）求（2）求点

的值；

到、两点的距离之积．

的极坐标方程为

，若曲线

的方程为与

相

【答案】(1);(2).

【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用

、

将直线的极坐标方程转化为普

通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C的方程转化为普通方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，消参，得到

，即得到结论

的普通方程为

．

，

，

试题解析：解析：（1） 曲线

则代入

的普通方程为得

，则，．

的参数方程为：

．

（2）

【考点】1．参数方程与普通方程的转化；2．极坐标方程与直角坐标方程的转化；3．点到直线的距离公式．

第 16 页 共 17 页

23．（1）已知实数，满足（2）已知

，求证：

，，证明：.

.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用分析法从结论出发一步步处理，得只需证

条件出发即可证出结论；（2）利用分析法从结论出发一步步处理，得只需证有基本不等式知显然成立，所以得证. 【详解】 证明：（1）要证只需证只需证只需证即∵∴∴

，，

， 成立.

，

，

，然后由

，

∴要证明的不等式成立. （2）要证只需证只需证即证只需证即证

，由基本不等式知此式显然成立.

，

∴原不等式成立. 【点睛】

本题考查了分析法证明不等式，当条件处理方向不明确时，常用分析法从结论出发进行处理解题.

第 17 页 共 17 页