2019人教A版数学选修2-3学案：1.2.1第1课时排列与排列数公式(1)

1．2 排列与组合

1．2.1 排 列

第1课时 排列与排列数公式

1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法． 2.能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有的排列．

3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．

,

1．排列

(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．

排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列． 2．排列数及排列数公式

排列数定义 表示法 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 Amn n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列 n全排列，这时公式中m＝n，即有An＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1 阶乘 排列数公式 乘积式 阶乘式 正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示 Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) Amn＝n！ （n－m）！性质 备注 An，0！＝1 n＝n！n，m∈N*，m≤n

排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形

式，它是一个数．因此，Amn只代表排列数，而不表示具体的排列．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( ) (2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )

(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ) (4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×

下面问题中，是排列问题的是( )

A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数 B．从60人中选11人组成足球队 C．从100人中选2人抽样调查

D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 答案：A

3 A24＝________，A3＝________．

答案：12 6

若Am9×…×5，则m＝________． 10＝10×答案：6

探究点1 排列的概念

判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．

(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；

(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；

(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．

(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．

(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．

判断一个具体问题是否为排列问题的方法

1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计

算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 2．判断下列问题是否是排列问题：

(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？

解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．

(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．

(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．

探究点2 排列的列举问题

四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．

【解】 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种． 画出树形图：

由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.

1．[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？ 解：画出树形图：

由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．

2．[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？ 解：画出树形图：