2018年高考数学总复习教师用书：第3章 第1讲 导数的概念与导数的计算含解析

第1讲 导数的概念与导数的计算

最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意1

义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.

知 识 梳 理

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim

?x?0f（x0＋Δx）－f（x0）

＝Δx

?x?0

lim

ΔyΔy为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx?x?0Δx

＝limf（x0＋Δx）－f（x0）

. Δx?x?0(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′. 3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′(x)＝ex f′(x)＝axln__a 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?f（x）?

?′＝(3)?(g(x)≠0).

[g（x）]2?g（x）?5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )

(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)′＝x·2x－1.( )

(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )

解析 (1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2； (4)(e2x)′＝2e2x.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A.xsin x C.xcos x

B.－xsin x D.－xcos x

解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案 B

πsin x

3.(选修2－2P18AT7改编)曲线y＝x在x＝2处的切线方程为( ) A.y＝0 C.y＝－

B.y＝

2 π4x π244x＋ π2π

D.y＝

解析 ∵y′＝程为y－

xcos x－sin xππ42

，∴y′|x＝＝－，当x＝时，y＝，∴切线方2x22π2π

24?π?44

＝－2?x－?，即y＝－2x＋. 2?ππ?ππ

答案 C

4.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析 y′＝a－所以a＝3. 答案 3

5.(2017·丽水调研)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f′(5)＝________；f(5)＝________.

1

，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2， x＋1

解析 f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3. 答案 －1 3

1

6.(2017·舟山调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，则

2f(0)＝________；f(x)＝________. 1

解析 ∵f(x)＝2f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x， ∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)， ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1，

1－

即1＝2f′(1)e2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x. 答案 1 e2x＋x2－2x

考点一 导数的运算

【例1】 分别求下列函数的导数： ?211?(1)y＝eln x；(2)y＝x?x＋x＋x3?；

??

x

xx

(3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝ln1＋2x. 1

解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·x 1?x?ln x＋?＝e. x???

12(2)∵y＝x3＋1＋x2，∴y′＝3x2－x3. 11

(3)∵y＝x－2sin x，∴y′＝1－2cos x. 1

(4)∵y＝ln1＋2x＝ln(1＋2x)，

2111

∴y′＝2··(1＋2x)′＝. 1＋2x1＋2x

规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x；