2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)

①当a?0时,f?(x)?0恒成立

f?x?在(0,??)单调递增,f?x?无最小值

②当a?0时,由f?(x)?0得x?a或x??a（舍）

x??0,a?时,f?(x)?0,f?x?在?0,a?单调递减 x??a,???时,f?(x)?0,f?x?在

?a,???单调递增

所以f?x?存在最小值,Q?f?a??a?alna

下面证明Q?1.

设函数g(a)?a?alna(a?0),g?(a)?1?(lna?1)??lna

由g?(a)?0得a?1,易知g(a)在(0,1)单调递增,在(1,??)单调递减 所以g(a)的最大值为g(1)?1 所以g(a)?1恒成立,Q?1得证.

（2020延庆一模）已知函数f?x??2ax?a2?1x2?1,其中a?0 （1）当a?1时，求曲线y?f?x?在原点处的切线方程；

（2）若函数f?x?在?0,???上存在最大值和最小值，求a的取值范围.2(1?x2【解析】（1）当a?1时，f?(x)?)(x2?1)2. .所以切线的斜率k?f?(0)?2；又f(0)?0

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所以曲线y?f(x)在原点处的切线方程为：y?2x.

（2）f?(x)?2a(x2?1)?(2ax?a2?1)2x(x2?1)2

??2ax2??2?2a?x?2a?2?ax?1?(x?a)(x2?1)2?(x2?1)2 当a?0时，f?(x)?0解得 x1??a,x2?1a 则x?[0,??)时f(x)、f?(x)随x的变化情况如下表：

?x 0 ?1??0,a??1 ??1a?a，????? f?(x) ? 0 ? f(x) a2?1 递增 f(1a) 递减 所以f(x)在??1??0,

a??上单调递增，在??1?a,?????上单调递减，所以f(x)的最大值为f(1)?a2a，

若f?x?存在最小值，则x??0，???时， f(x)?f(0)?a2?1恒成立，即2ax?a2?1?a2x2?1?1， 所以2ax??a2?1?x2即a2?112a?x在x?(0,??)恒成立，

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所以a2?12a?0.又因为 a?0，所以a2?1?0，则0?a?1.

当a?0时，f?(x)?0解得 x1??a,x2?1a 则x?[0,??)时f(x)、f?(x)随x的变化情况如下表：

x0,?a?a 0 ????a，?? ? f?(x) ? 0 ? f(x) a2?1 递减 ?1 递增 所以f(x)在?0,?a?上单调递减，在??a,???上单调递增， 所以f(x)的最小值为?1，

若f?x?存在最大值，则x??0，???时， f(x)?f(0)?a2?1恒成立，即2ax?a2?12x2?1?a?1， 所以2ax??a2?1?x2即a2?12a?1x在x?(0,??)恒成立，

所以a2?12a?0.又因为 a?0，所以a2?1?0，则a??1.

综上所述，a的取值范围为(??,?1]?(0,1].

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