高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第1讲数学文化学案理新人教A版2

第1讲 数学文化

函数中的数学文化题

[典型例题]

中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；

②函数f(x)＝ln(x＋x＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；

④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为( )

A．①③ C．②③

B．①③④ D．①④

2

2

【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；

函数f(x)＝ln(x＋x＋1)的图象如图1所示，

故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；

将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“太极函数”，

从而正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；

函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A．

【答案】 A

中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．

[对点训练]

2

2

- 1 -

(2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，1

并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的，第

211

2关所收税金为剩余持金的，第3关所收税金为剩余持金的，第4关所收税金为剩余持金的

3411

，第5关所收税金为剩余持金的，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关56所收税金为( )

1

A．斤 361

C．斤 25

1B．斤 301D．斤 20

解析：选C．设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为斤；

2第2关所收税金为斤；

6第3关所收税金为斤；

12第4关所收税金为斤；

20第5关所收税金为斤．

30易知＋＋＋＋＝1，

26122030

61

解得x＝.则第5关所收税金为斤．故选C．

525

数列中的数学文化题

[典型例题]

(1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1

A．4

B．5

xxxxxxxxxx - 2 -

C．6 D．7

(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )

175A．里

3222 575C．里

32

B．1 050里 D．2 100里

【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为15a＝，?16??a＋a＝2，??2a＋d＝2，???d，则有???

?a＋a＝4?2a＋17d＝41??

??d＝8.1

19

2

1

10

1

1510×91

所以该金箠的总重量 M＝10×＋×＝15.

1628

151

因为48ai＝5M，所以有48[＋(i－1)×]＝75，解得i＝6，故选C．

168

(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日1

行走的路程为a1，公比为，则有

2(里)．故选C．

【答案】 (1)C (2)C

(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．

(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．

[对点训练]

1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )

7

A．钱 6

a1[1－()7]

1211－2

350×128

＝700，则a1＝，则

127

a1[1－()14]

1211－2

22 575＝32

5B．钱 6

- 3 -

2

C．钱 3

D．1钱

解析：选D．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D．

2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )

50

A．斗粟

715

C．斗粟

7

10

B．斗粟

720

D．斗粟

7

解：选C．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，

52020515

解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故选C．

77777

420

法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝(斗)，羊主人

771520515

应赔偿5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝(斗)，故选C．

77777

三角函数中的数学文化题

[典型例题]

《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝

1?22?c2＋a2－b2?2????，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(2－4?ca－?2???1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( )

A．C．

3

25 2

B．D．

3 45 4

- 4 -