[步步高]2014高考数学二轮专题突破（文科）专题六 第3讲

(2)利用复数的有关概念以及复数的运算求解． 2

∵z＝＝－1－i，

－1＋i∴|z|＝?－1?2＋?－1?2＝2， ∴p1是假命题； ∵z2＝(－1－i)2＝2i， ∴p2是真命题；

∵z＝－1＋i，∴p3是假命题； ∵z的虚部为－1，∴p4是真命题． 其中的真命题共有2个：p2，p4. 考点三 复数的运算

例3 (1)(2013·山东)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )

A．2＋i

B．2－i

C．5＋i

D．5－i

11－7i

(2)(2012·江苏)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．

1－2i答案 (1)D (2)8

5

解析 (1)由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，∴z＝5＋i，∴z＝5－i.

2－i(2)化∵

11－7i

为标准形式，利用复数相等，求出a，b. 1－2i

11－7i?11－7i??1＋2i?1

＝＝(25＋15i)＝5＋3i， 1－2i?1－2i??1＋2i?5

∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.

(1)与复数z有关的复杂式子为纯虚数，可设为mi(m≠0)，利用复数相等去运算

较简便．

(2)在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解． (3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度： (1±i)2＝±2i，

1＋i1－i

＝i，＝－i， 1－i1＋i

13

设ω＝－＋i，

22

则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.

3＋i

(1)已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝________.

?1－3i?2

(2)(2013·安徽)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z等于( )

A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i

1

答案 (1) (2)A

4解析 (1)∵z＝

3＋i3＋i3＋i

＝ 2＝?1－3i?－2－23i－2?1＋3i?

＝

?3＋i??1－3i?23－2i31

＝＝－＋i，

44－8－2?1＋3i??1－3i?

31

－i， 44

1131??31?3

＋i－－i＝16＋16＝4. 44??44?

故z＝－

∴z·z＝?－

?

(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，

代入z·zi＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi

?2a＝2?a＝1??则?22解得?因此z＝1＋i. ??a＋b＝2b，b＝1，??

1． 算法

(1)解答有关程序(算法)框图问题，首先要读懂程序(算法)框图，要熟练掌握程序(算法)框图的三个基本结构．

(2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法，第一要选择准确地表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的程序(算法)框图题，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．

(3)注意直到型循环和当型循环的本质区别．直到型循环是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环． 2． 复数

(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．

(2)与复数z的模|z|和共轭复数z有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决． (3)复数运算中常用的结论 ①(1±i)2＝±2i； ②

1＋i

＝i； 1－i

③

1－i

1＋i

＝－i； ④－b＋ai＝i(a＋bi)；

⑤i4n＝1，i4n＋

1＝i，i4n＋

2＝－1，i4n＋

3＝－i，其中n∈N.

1． 已知m∈R，复数1－m

i

在复平面内对应的点在直线x－y＝0上，则实数m的值是( A．－1

B．0

C．1

D．2

答案 C

解析 1－m

i＝1＋mi，该复数对应的点为(1，m)，∴1－m＝0，m＝1.

2． 执行如图所示的程序框图，输出的M的值为

(

A．17 B．53

C．161

D．485

答案 C

解析 由框图算法可得：M＝1，k＝0；

k＝1，M＝3×1＋2＝5；k＝2，M＝3×5＋2＝17； k＝3，M＝3×17＋2＝53； k＝4，M＝3×53＋2＝161；

不满足循环条件，跳出循环，输出M＝161，选C. 3． 已知z是纯虚数，z＋2

1－i

是实数，那么z＝________.

答案 －2i

解析 由题意设z＝ai(a∈R且a≠0)， ∴

z＋21－i＝?2＋ai??1＋i??1－i??1＋i?

＝2－a＋?a＋2?i

2，

则a＋2＝0，∴a＝－2，即z＝－2i.

)

)

(推荐时间：40分钟)

一、选择题

1． (2013·北京)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于

A．第一象限 C．第三象限 答案 D

解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i， ∴对应点坐标为(3，－4)，位于第四象限．

b2． (2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )

i

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 B 解析 直接法．

b

∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，

i而ab＝0时有a＝0或b＝0，

∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．

b

∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

i3． 设复数z满足z(1＋2i)＝4－2i(i为虚数单位)，则|z|等于

A．1 答案 B

4－2i

解析 由题知z＝，

1＋2i∴|z|＝?

B．2

3C. 2

8D. 5

( )

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．第二象限 D．第四象限

( )

?4－2i?＝|4－2i|＝20＝2.

??1＋2i?|1＋2i|5

4． (2013·课标全国Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，

则输出的s属于 A．[－3,4] B．[－5,2]

( )