B-S期权定价公式

B-S期权定价公式

Black-Scholes期权定价模型

一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件

Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下:

1、 风险资产(Black-Scholes期权定价模型中为股票),当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动,即

dS??dt??dz。 S其中,dz为均值为零,方差为dt的无穷小的随机变化值(dz??dt,称为标准布朗运动,?代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布)中取的一个随机值),?为股票价格在单位时间内的期望收益率,?则就是股票价格的波动率,即证券收益率在单位时间内的标准差。?与?都就是已知的。

简单地分析几何布朗运动,意味着股票价格在短时期内的变动(即收益)来源于两个方面:一就是单位时间内已知的一个收益率变化?,被称为漂移项,可以被瞧成一个总体的变化趋势;二就是随机波动项,即?dz,可以瞧作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2.没有交易费用与税收,不考虑保证金问题,即不存在影响收益的任何外部因素。

3、 资产价格的变动就是连续而均匀的,不存在突然的跳跃。

4、 该标的资产可以被自由地买卖,即允许卖空,且所有证券都就是完全可分的。

5、 在期权有效期内,无风险利率r保持不变,投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6.在衍生品有效期间,股票不支付股利。

7.所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes期权定价模型

(一)B-S期权定价公式

在上述假设条件的基础上,Black与Scholes得到了如下适用于无收益资产

B-S期权定价公式

欧式瞧涨期权的Black-Schole微分方程:

?f?f122?2f?rS??S?rf ?t2?S?S2其中f为期权价格,其她参数符号的意义同前。

通过这个微分方程,Black与Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式瞧涨期权的定价公式:c?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)

其中,

d1?ln(S/X)?(r??2/2)(T?t)?T?t 2ln(S/X)?(r??/2)(T?t)d2??d1??T?t?T?tc为无收益资产欧式瞧涨期权价格;N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率),根据标准正态分布函数特性,我们有

N(?x)?1?N(x)。

(二)Black-Scholes期权定价公式的理解

1、 SN(d1) 可瞧作证券或无价值瞧涨期权的多头;Ke?r(T?t)N(d2)可瞧作K份现金或无价值瞧涨期权的多头。

可以证明,?f/?S?N(d1)。为构造一份欧式瞧涨期权,需持有N(d1)份证券多头,以及卖空数量为K e?rTN(d2)的现金。

Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式瞧涨期权的定价。 注意: 该公式只在一定的假设条件下成立,如市场完美(无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空)、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。

2、风险中性定价原理

风险中性定价原理:我们可以注意到期权价格就是与标的资产的预期收益率无关的。C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关,而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。

在对欧式Call 定价时,可假设投资者就是风险中性的(对所承担的风险不要求额外回报,所有证券的期望收益率等于无风险利率)。

B-S期权定价公式

为了更好地理解风险中性定价原理,我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元,我们知道在3个月后,该股票价格要么就是11元,要么就是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10、5元的该股票欧式瞧涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行,其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元,则该期权价值为0、5元;若3个月后该股票价格等于9元,则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值,我们可构建一个由一单位瞧涨期权空头与?单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时,该组合价值等于(11?－0、5)元;若3个月后该股票价格等于9元时,该组合价值等于9?元。为了使该组合价值处于无风险状态,我们应选择适当的?值,使3个月后该组合的价值不变,这意味着:11?－0、5=9?,我们解得:?=0、25

因此,一个无风险组合应包括一份瞧涨期权空头与0、25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还就是9元,该组合价值都将等于2、25元。

在没有套利机会情况下,无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%,则该组合的现值应为:2.25e?0.1?0.25?2.19元

由于该组合中有一单位瞧涨期权空头与0、25单位股票多头,而目前股票市场为10元,因此:

10?0.25?f?2.19

f?0.31元这就就是说,该瞧涨期权的价值应为0、31元,否则就会存在无风险套利机会。

三、Black-Scholes期权定价公式的计算

Black-Scholes期权定价公式的计算:一个例子

为了使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型,我们下面用一个简单的例子,来说明这一模型的计算过程。

假设某种不支付红利股票的市价为50元,无风险利率为12%,该股票的年波动率为10%,求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式瞧涨期权与瞧跌期权价格。

B-S期权定价公式

在本题中,可以将相关参数表达如下:S＝50,X＝50,r=0、12,σ=0、1,T=1, 算出d1与d2:

d1?ln(50/50)?(0.12?0.01/2)?1?1.250.1?1

d2?d1?0.1?1?1.15 计算N?d1?与N?d2?:

N?d1??N?1.25??0.8944N?d2??N?1.15??0.8749

将上述结果及已知条件代入公式,这样,欧式瞧涨期权价格为: c?50?0.8944?50?0.8749e?0.12?1?5.92美元

由P?C?Ke-r(T-t)?S?Ke?r(T?t)N(?d2)?SN(?d1) 可以算出欧式瞧跌期权价格:p?50??1?0.8749?e?0.12?1?50??1?0.8944??0.27美元

四、影响欧式瞧涨期权价格的因素

从B-S公式我们可以简单得出以下的结论: (1)当期股价 S 越高,期权价格越高; (2)到期执行价格 K 越高,期权价格越低; (3)距离到期日时间 T-t 越长,期权价格越高; (4)股价波动率σ越大,期权价格越高; (5)无风险利率 r 越高,期权价格越高。

五、Black-Scholes期权定价公式的应用

Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格,在其它一些方面也有重要的应用。主要有以下三方面: （一） 对公司负债及资本进行估值:

一家公司A发行两种证券:普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知公司总市值为1亿元,问:公司股票及债券如何定价？

令V为当前A公司资产市场价值,E为A公司资本市场价值,D为A公司债券市场价值。