数学 重庆市南开中学高2010级高三(下)月考试卷理科试题

二、填空题：(本大题5个小题，第小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上( 只填结果，不要过程) 11．

1 4

12．1

13．

2? 3

14．8

15．4?a?12

三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 16．解：(1)由已知得：A?2, 且sin(2?T??, 所以T??,2??2, 从而??1, 22??. 所以f(x)?2sin(2x?).

12332?1???????,所以?2????, (2)由f(?)?, 得sin(2??)?, 因

33312323???)?1, 结合0????知??所以cos(2???3)??22, 3于是sin(7?3???22 ?2?)?sin[?(2??)]??cos(2??)?6233317．解：(1)设恰有一人通过考试为事件A，则

P(A)?0.4?0.5?0.2?0.6?0.5?0.2?0.6?0.5?0.8?0.34 ………………5分

(2)?的可能值为：0，1，2，3，计算得三人被录取的概率均为0.2. ……………7分

1所以P(??0)?0.8?0.512,P(??1)?C3?0.2?0.82?0.384, 2P(??2)?C3?0.22?0.8?0.096,P(??3)?0.23?0.008.

3所以?的分布列为：

?

P

0 1 2 3 0.008

0.512 0.384 0.096

因为?服从二项分布，所以E??3?0.2?0.6

…………………………13

分

18．解：(1)证明：∵PB?平面DEF ∴PB?DE ……1分 又∵PD?平面ABCD 又∵BC?DC

∴BC?面PDC. …………………………2分 ∴DE?平面PDC

∴BC?DE，从而DE?平面PBC. ………………4分 ∴DE?PC. ……………………………………5分 (2)略

2??x?2lnx?2,x?e19．解：(1)当a?2时，f(x)??2

??x?2lnx?2,0?x?e

22x2?2?0恒成立， 当x?e时，f(x)?2x??xx'

22x2?2, 令f'(x)?0得1?x?e 当0?x?e时，f(x)?2x??xx'f(x)?limf(x)?f(e)?e, 故f(x)在x?e处连续， 又lim??x?ex?e2 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增. (2)当x?e时，f(x)?2x?''a?0, 故f(x)在(e,??)单增 xa2x2?a2x2?aa',令f(x)? 当0?x?e时，f(x)?2x?? ?0?x?xxx2 则f(x)在(aa,??)单增，f(x)在(0,)单减。又f(x)在x?e处连续. 22 故，当a?e?a?2e2时，fmin(x)?f(e)?e2 2aa3aaa?e?2?a?2e2时，fmin(x)?f()??ln 22222 当1?当a?1?0?a?2时，fmin(x)?f(1)?1?a 220．解：(1)过A,P分别做准线的垂线，设垂足为A0,H, 则|PF|?|PH|,

由图象可知，当|PA|?|PF|最小值 既A点到准线的距离3?p, 此时P点为AA0与抛物线的交点. 22故p?1, 此时抛物线方程为y?2x,P点坐标为(2,2).

y12y22,y1),B(,y2). (2)设A(22y22y2222 直线AB:y?y2? (x?)，即y?x?y2?y1?y22y1?y2y1?y2 即y?2yx?y1y2, 由PA?PB有4y??1

1?y2y1?y2(y2?2)(1?2) 得y1y2??4?4?2(y1?y2) 代入到y?2x?y1y224?4yyy中有y?x??2

1?2y1?2y1?y2y1?y2即y?2?2y?y[x?(2?2)]即y?2?2(x12y?y?4)

12故直线AB过定点(4,?2)

21．解：(1)由a1nn?1?2an?2n?1, 得2n?1an?1?2nan?n 令bn?2nan, 有bn?1?bn?n,

所以bn?b1?(b2?b1)?…?(bn?1?bn?2)?(bn?bn?1)

?bn(n?1)1?[1?2?…?(n?1)]?b1?2 又b11?2a1?2, 所以bn?2?2n(n?1), 即2na2?1n?2n(n?1),

所以a2n?(n?n?4)?(1)n?12

(2)由(1)知：a21n?1n?(n?n?4)?(2), 因n2?n?0,n?N*,

所以a1n?1n?4?(2)?12n?1 又an?1(n?1)2?(n?1)?4n2?na?n?4)??4?n2?3n?42n2?2n?8?1?2n2?2n?8?1

n2(n2?所以{an}为递减数列，又a1?1,所以an?1成立. 综上知，12n?1?an?1 (3)T2nn?n2?n?4(n2?n?4)?(12)n?1?n?12Tn2n 欲证T?,n?2knk1n?2T2n?,T n即证ln(1?Tn)?Tn?0.

证 即构造函数f(x)?ln(1?x)?x, f(x)?'1?x?1? 1?x1?x当x?0时，f'(x)?0, 所以函数y?f(x)在(0,??)单调递减， 从而f(x)在[0,??)上的最大值为f(0)?0, 所以当x?0时，ln(1?x)?x?0成立， 又Tn?0,所以ln(1?Tn)?Tn?0成立，故不等式

T2?n成立. Tn?2kn