实变函数试题库参考答案

11、证明：可数点集的外测度为零。

12、（设函数列{fn(x)}在有界集E上基本上一致收敛于f(x)，证明fn(x)在

E上a. e.收敛于f(x)

13、设S1,S2,?,Sn是n个互不相交的可测集合，Ei?Si，i?1,2,?,n。证明：m*(E1?E2???En)?m*E1?m*E2???m*En

14、证明：若fn?f，fn?g，则f?g在E上a. e.成立。

15、若m*E?0，则E可测。 16、设E?(0,??)，fn(x)?1n，n?1,2,?，f(x)?，试证

xx(n?1)fn(x)?f(x)。

17、设A可测，B为任意集合，证明：m*(A?B)?m*(A?B)?mA?m*B 18、设E?(0,??),fn(x)?x?1,n?1,2,?,f(x)?x，证明：fn(x)?f(x) n19、设f(x)是E?[0,1]上的可积函数，则limmE[f?n]?0

n??20、设mE???，f(x)是E上的有界可积函数，则对任何可测集A?E，有lim?f(x)dx?0

mA?0A21、设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,?,En，假定[0,1]中任一点至少属于这n个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。

2311122、试从1?，求证：ln2?1?1 2?3?4??。x?(1?x)?(x?x)??,0?x?123、设{fn(x)}为E上的可积函数列，fn(x)?f(x) a.e. 于E，且

?Efn(x)dx?K，K为常数，则f(x)可积。

24、设f(x)在E上(L)可积，f(x)?0且?f(x)dx?0，则f(x)?0 a.e. 于

E 21

E。

《实变函数》试题题库参考答案

一、选择题

1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A

二、填空题

1、2n ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的??I,有x?A?}；8、{x:存在??I,使得x?A?}；9、?CsA?；10、?CsA?；11、??An；

??I????Ik?1n?k12、??An；13、(?xk)；14、sup{|x(t)?y(t)|}；15、{?(xk?yk)}；16、

2??n12?12k?1n?kk?1x?[a,b]k?1{(x1?y1)?(x2?y2)}；17、{(x1?y1)?(x2?y2)?(x3?y3)}；18、

221222212 22

{(x1?y1)?(x2?y2)?(x3?y3)?(x4?y4)}；19、E?{(x,y):x2?y2?1}；

22221220、21、 22、{(x,y,z):x2?y2?z2?1}；{(x,y):x2?y2?1}；{(x,y):x2?y2?1}；23、{(x,y,z):x2?y2?z2?1}； 24、{(x,y,z):x2?y2?z2?1}； 25、2；26、0；27、1；28、inf{d(x,y)}；29、sup{d(x,y)}；30、1；31、inf?|Ii|；

x?A,y?B?x?A,y?Ai?132、limmSn；33、E(f?a)可测；34、???0有E??Ii；35、A?D?B?C；

n???i?136、|x|；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、|I|?m*(I?E)；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、?Gi（Gi开）；

i?1?45、推广；46、测度；47、m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)；48、?Fn，（Fn闭

n?1?集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、limmSn；52、零测集； 53、

n??可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0

三、判断题 1、( √ )

理由: 集合具有无序性 2、( × )

理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）

理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）

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理由:符号?表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )

理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ

6、( × )

理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是0

7、( √ )

理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点 8、( × )

理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分

9、( √ )

理由: 有内点的定义可得.

10、( √ )

理由: 有内点的定义可得.

11、( × )

理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E. 12、( × )

理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E 13、（×）

理由: 因有若E?[0,1]，E不可测，而([0,1]?E)?E可测

14、（√）

理由: 因 E(g?a)?(e(f?g)?E(f?g)(g?a)

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