2015-2016学年高中数学 1.1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理学案 新人教A版选修2-3

2015-2016学年高中数学 1.1.1分类加法计数原理与分布乘法计数

原理学案 新人教A版选修2-3

基础梳理

1.分类加法计数原理．

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分类加法计数原理的推广．

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，?，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种不同的方法．

3．分步乘法计数原理．

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

4．分步乘法计数原理的推广．

完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种不同的方法．

自测自评

1．家住广州的小明同学准备周末去深圳参观旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同

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的方法有(A)

A．90种 B．120种 C．180种 D．360种

解析：根据分类加法计数原理，得方法种数为30＋20＋40＝90(种)．故选A.

2．从A地到B地要依次经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是(D)

A．9种 B．10种 C．18种 D．24种

3．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(C)

A．182种 B．14种 C．48种 D．91种

解析：由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C.

分不清是“分类”还是“分步”致错

【典例】 下图中一共有多少个矩形(顶点不完全相同就视作不同的矩形)?

解析：我们只要在A、B、C、D四条横线中选取2条，在1、2、3、4、5、6这6条竖线中选取两条，就能确定一个矩形，如图中矩形B2D2D5B5是由横线B2B5，D2D5和竖线B2D2、B5D5围成的．

选取横线有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不同方法，选取竖线有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15种不同方法，由分步乘计数原理知，共有不同的矩形6×15＝90个．

【易错剖析】完成一个矩形，既要考虑横线由哪两条构成，也要考虑竖线由哪两条构成，只有当两条横线与两条竖线都确定时，这个矩形才算完成，故这是分步乘法计数原理．本题易错成用分类计数原理求解，错解如下：

按横行进行分类：

第一类，由A行和B行组成的矩形有15个． 第二类，由B行和C行组成的矩形有15个．

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第三类，由C行和D行组成的矩形有15个．

由分类加法原理知，不同的矩形共有15＋15＋15＝45个．

基础巩固

1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语单词卡片，则不同的取法有(B)

A．20种 B．600种 C．10种 D．50种

2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(B)

A．7种 B．12种 C．64种 D．81种

解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．

3．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成通路的条数为(B)

A．8条 B．6条 C．5条 D．3条

解析：依题意，可构成线路的条数为2×3＝6(条)．故选B.

4．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．

解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．

答案：120

能力提升

5．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(C)

A．27种 B．36种 C．54种 D．81种

解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．故选C.

6．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为(C)

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A．3个 B．4个 C．12个 D．24个

解析：显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C.

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7．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0、1、2、3、5、7这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则可表示不同的直线________条．

解析：当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线．

答案：22 8．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．

解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．

答案：14

*

9．若x、y∈N，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．

*

分析：由题目可获取以下主要信息：(1)由x、y∈N且x＋y≤6，知x、y的取值均不超过6；(2)(x，y)是有序数对．

解析：按x的取值进行分类：

x＝1时，y＝1，2，?，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1，2，?，4，共构成4个有序自然数对； ?

x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．

根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． 10．右图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？

解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×4＝480(种)着色方案．

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