2018高中数学123等差数列的前n项和（一）教案北师大版必修5 精品

第六课时 §1.2.3 等差数列的前n项和（一）

一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。 二、教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。

教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 导入新课

教师出示投影胶片1：

印度泰姬陵

aj Mahal是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印

度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个

等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)

生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数

师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：

过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…

算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以

师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了

高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速

准确得到了结果。作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？

生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题（二）、推进新课［合作探究］

师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢

生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了

师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们

是否有简单的方法来解决这个问题呢

生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是

(1?21)?212

师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：

第一行的式子恰好是倒序法

，

21+20+19+…+1，

对齐相加(其中下第二行的式子与

这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加

现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决

如何求等差数列{an}的前n项的和Snn

生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，=an+an-1+…+a2+a1，再将两

所以

式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，

Sn?n(a1?an).(Ⅰ2

因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+

生2 对于问题(2)，我是这样来求的：［a1+(n-1)×d］，

所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+［教师精讲］

n(n?1)d2即Sn=na1+

n(n?1) d.(Ⅱ2

两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同

学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆

［方法引导］师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行

引导学生总结：这些公式中出现了几个量？ 生 每个公式中都是5个量

师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法

生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二

师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差

［知识应用］【例1】 (直接代公式)计算： (1)1+2+3+…+n；

n-1)；n；

-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答生

(1)1+2+3+…+n=

n(n?1)2；

(2)1+3+5+…+(2n-1)=

n(1?n?1)2 =n2

；

(3)2+4+6+…+2n=

n(2n?2) =n(n2师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答

生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n-n(n+1)=-n2

生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n

师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解【例2】 （课本例

分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.

你能发现其中的一些有用信息吗

生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2018年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了

师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式

【例3】 (课本例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？

生 必须要确定首项a1与公差d.

师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？

生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得

解答见课本

师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造