2015-2016学年下学期《数学建模与数学实验》期末考查试题 - 图文

《数学建模与数学实验》考查方案

教学部门 教学班级 考查时间 数学学院 13级信息与计算科学班 20周 课程名称 数学建模与数学实验 一、简答题：（30分） 通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模的认识，学习《数学建模与数学实验》课程的收获。 二、建模题：（70分）（任选一题） 第1题 一阶常微分方程模型——人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），N0?101654万人，Nm?200000万人。 年 1982 1983 1984 1985 105851 1994 119850 1986 107507 1995 121121 1987 109300 1996 122389 1988 111026 1997 123626 1989 112704 1998 124810 1990 114333 人口 101654 103008 104357 （万） 年 1991 1992 117171 1993 118517 人口 115823 （万） 要求： （1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 （4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 第2题 送货模型 某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。 要求： 1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。 2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？ 3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空

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载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。 图１ 唯一的运输路线图和里程数 公司 材料 A B C ① 4 1 5 ② 1 5 2 ③ 2 0 4 ④ 3 1 2 ⑤ 1 2 4 ⑥ 0 4 3 ⑦ 2 2 5 ⑧ 5 3 1 表１ 各公司所需要的货物量 第3题 高阶常微分方程模型——饿狼追兔问题 现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。 要求： （1）建立狼的运动轨迹微分模型。 （2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。 （3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ （4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ 第4题 多元回归模型 设某公司生产的商品在市场一的销售价格为x1（元/件）、用于商品的广告费用为x2（万元）、销售量为y（万件）的连续12个月的统计数据如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 销售价格x1 100 90 80 70 70 70 70 65 广告费用x2 5.50 6.30 7.20 7.00 6.30 7.35 5.60 7.15 销售量y 55 70 90 100 90 105 80 110 2

9 10 11 12 要求： 60 60 55 50 7.50 6.90 7.15 6.50 125 115 130 130 （1）选择恰当的模型，建立销售量y关于销售价格x1和广告费用x2的关系模型。并利用MATLAB画出曲线图形。 （2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售量将是多少？并对其作统计上的误差分析。 第5题 课程安排优化问题 某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表1），具体要求如下： 1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上； 2、可用排课教室数为3个（D1、D2、D3）； 3、同一课程两次课之间至少相隔一天； 4、每位教师每天上课不超过四节； 5、周四下午全校政治学习，不安排上课。 表1： 课程 B1 B2 B3 B4 B5 周学时 4 4 6 2 4 班级 A1 A1 A1 A1 A1 教师 C1 C2 C3 C5 C5 班级 A2 A2 A2 A2 A2 教师 班级 C1 C2 C3 C6 C6 A3 A3 A3 A3 A3 教师 班级 C1 C2 C4 C5 C5 A4 A4 A4 A4 A4 教师 C1 C2 C4 C6 C6 （1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表； （2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解； （3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。 第6题 房地产销售问题 我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合2008年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2008年上半年的销售情况如下表所示： 月 份 销售量（套） 1 2 3 4 5 6 42 32 41 67 25 29 该公司的楼盘2007年12月的销售均价为4800元/平方米，平均每套120平方米，2008年上半年的售价保持不变。2007年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2007年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用，与当月销

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售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。 近年以来，央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2007年12月的价格为基准）见下表： 月 份 1 2 3 4 5 6 10% 10% 15% 15% 20% 20% 增长速度 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从。 2008年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）（1）如果公司的月建造能力没有限制，并允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？ （2）如果公司的月建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？ 第7题 产销问题 某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。 表1. 产品需求预测估计值（件） 月份 预计需求量 1月 1000 2月 1100 3月 1150 4月 1300 5月 1400 6月 1300 1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。 表2. 产品各项成本费用 原材料成本 100元/件 解聘费用 100元/人 库存成本 10元/件/月 产品加工时间 1.6小时/件 缺货损失 20元/件/月 工人正常工资 12元/小时/人 外包成本 200元/件 工人加班工资 18元/小时/人 培训费用 50元/人 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案； （2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。 第8题 自命题 要求是自己感兴趣的问题，有一定的难度和一定的现实意义。注：严禁网上直接拷贝。 4

备注： 建模题要求严格按照数学建模的步骤来写论文；建模题最少写5页，正文统一用小四号宋体，1.5倍行距，一级标题用四号加粗宋体，题目用三号加粗宋体。 交卷形式：纸质文档和电子文档； 交卷时间：第20周最后一堂课前上交，过时没交答卷的同学做缺考处理；. 注：如有答卷雷同，则同时计0分，如查实为抄袭网上已有论文计0分。 论文的要求: 论文基本内容和格式大致分三大部分： 一、标题、摘要部分 1.题目：应写出较确切的题目，根据所写论文自拟标题；(不能只写第1题、第2题等) 2.摘要(含关键词)200字左右，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果； 二、正文 正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。必须包括以下部分: 1．问题分析 2．模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键) 3．符号说明 4．模型建立与求解(必要时包括计算方法设计及计算机实现（MATLAB）) 5．结果分析与检验(简述) 6．讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述) 7．参考文献（参考文献要在论文中引用） 参考文献在正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等，引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日） 5