2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2 Word版缺答案

?3x2＋2，0≤x＜3，

例3 已知函数y＝f(x)＝?

?29＋3?x－3?2，x≥3，求此函数在x＝1和x＝4处的导数． [解] 当x＝1时，f(x)＝3x2＋2，

所以Δy＝3(1＋Δx)2＋2－(3×12＋2)＝6Δx＋3(Δx)2. Δy6Δx＋3?Δx?2所以Δx＝＝6＋3Δx.

ΔxΔy

所以f′(1)＝lim Δx＝lim (6＋3Δx)＝6.

Δx→0

Δx→0

当x＝4时，f(x)＝29＋3(x－3)2，

所以Δy＝29＋3(4＋Δx－3)2－[29＋3×(4－3)2] ＝6Δx＋3(Δx)2.

Δy6Δx＋3?Δx?2所以Δx＝＝6＋3Δx.

ΔxΔy

所以f′(4)＝lim Δx＝lim (6＋3Δx)＝6.

Δx→0

Δx→0

拓展提升

ΔyΔy

(1)求函数在某点处的导数可以分为以下三步：①计算Δy；②计算Δx；③计算lim Δx. Δx→0

注意：对于分段函数求导数问题，一定要先判断这一点在函数的哪一段上，再确定此点所满足的函数解析式．

(2)求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值．

1

【跟踪训练3】 函数y＝x＋x在x＝1处的导数是( ) 5

A．2 B．2 C．1 D．0 答案 D

解析 因为y′＝lim

Δx→0

f?x＋Δx?－f?x?

Δx

1?1?

x＋Δx＋－?x＋?

x＋Δx?x?

＝lim

Δx

Δx→0

11??1－?＝lim ?＝1－x?x＋Δx??x2， ?

Δx→0

所以y′|x＝1＝1－1＝0.故选D．

1.函数在一点处的导数就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量.

2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值.

1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx满足( ) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 答案 C

解析 由平均变化率的定义可以得出结论．

Δy

2．若函数f(x)＝2x2的图象上有点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则Δx的值为( ) A．4 C．4＋2(Δx)2 答案 D

Δy2?1＋Δx?2－2×12

解析 Δx＝＝4＋2Δx，故选D．

Δx3．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________. 答案 2

Δy

解析 因为Δy＝f(5＋Δx)－f(5)＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，所以Δx＝2，所以Δy

f′(5)＝lim Δx＝2.

Δx→0

B．4x D．4＋2Δx

4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则t＝2 s时，汽车的瞬时速度是________．

答案 4 m/s

2?2＋Δt?3－5?2＋Δt?2－?2×23－5×22?

解析 s′(2)＝lim

Δt

Δx→0

＝lim (4＋7Δt＋2Δt2)＝4.

Δx→0

5．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间． (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度．

解 (1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为

Δs8－3?1＋Δt?2－8＋3×12

＝＝－6－3Δt. ΔtΔt

Δs

(2)由(1)知Δt＝－6－3Δt，当Δt无限趋近于0时， Δs

lim Δt＝－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6. Δt→0